#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
34

#群論：#群 が #直積 に表せる条件
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の初歩 41

#加法群 (英 additive group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ 群演算を，ある意味で
加法と考えることのできる #群.

・通常は #アーベル群.

・ #二項演算 を
記号 + を使って書くのが一般的.

※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p9より引用:
『#群 の理論が
初めてできたのは
#18世紀 の終わりである.
それはゆっくりと展開し
#19世紀 の
最初の何十年かは
あまり #注目 されなかった.
しかし
#1830年 を中心とする
2，3年の間に
#群論 は一大 #飛躍 を遂げた.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン)

序論より:
『純粋に #論理学 的な
観点から見れば，
#位相群 は，
#群 と #位相空間 という
2つの数学的概念を
組合わせたものに他ならない.
従って，位相群の概念は
極めて #自然 に
#公理的 に組立てる事ができる.』

#群論の初歩 38

Q.
#群 Gの任意の元 x に対し
x^2 = e
ならば，
Gは #アーベル群 である事を示せ.

A.
x^2 = e
両辺に右から x^{-1} をかけて
x (x x^{-1}) = x^{-1}
x＝x^{-1}

よって，Gの任意の2元に対し
ab
＝(ab)
＝(ab)^(-1)
＝b^(-1) a^(-1)
＝ba
#交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
30

#群論：#位数 4p の #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学の知識

アーベル-ルフィニの定理
Abel–Ruffini theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・5次以上の代数方程式には
#解の公式 が存在しない
(一般に代数的に解けない)と主張する定理

・ #アーベル，ルフィニらには
#群 という意識がまだ存在しておらず
技巧的な証明に留まっていた

#群論の知識

#点群 (point group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「ある図形の形を保ったまま行う
移動操作のうち，
少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を
元とする #群.

結晶や分子 #対称性 を記述するため
3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

#群論の初歩 28

Q.
T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ }
S＝T－{0}
Sが積演算について #群 をなすことを示せ.

A.
Sの2元の積は
(a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S
より
#二項演算 が #閉じている.
#結合法則 も満たす.
#単位元 は1.
a+b√3の #逆元 は
1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27

Q.
1次元トーラスから
#群 を構成せよ.

A.
1次元トーラスとは
複素数全体ℂに対し
T＝{z∈ℂ | |z|＝1}
を指す.

Tの元は
乗法について閉じており
#結合法則 を満たす.

#単位元 は z＝1.

元 z＝e^(iθ) の
#逆元 は z'＝e^(-iθ).

よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 26

Q.
#群 で常に #簡約法則 が成り立つ事を示せ

A.
群Gの3元a,b,cに対し
aの #逆元 a^{-1} が常に存在.

ab＝acの時，左からa^{-1}をかけ
b＝c
∴左簡約可能

ba＝caの時，右からa^{-1}をかけ
b＝c
∴右簡約可能

左簡約と右簡約が常に可能ゆえ
群では常に簡約法則が成立.

#群論の知識

#二面体群 (dihedral group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#正多角形 を自分自身に移す
#合同変換 全体のなす #群.

正多角形を3次元空間で見て
裏表の区別を付けたもの.

正n角形の二面体群 D_n は
2n 通りの合同変換からなる.
内訳は
n通りの #回転 と
n通りの #鏡映.

#群論の初歩 25

Q.
#簡約法則(簡約律)とは.

A.
簡約律(cancellation property)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・消去律，消約律とも.
・左可逆元は左簡約可能: ab＝acならばb＝c
・右可逆元は右簡約可能: ba＝caならばb＝c
・すべての #群 で簡約律が成り立つ.

#群論の初歩 23

Q.
#群論 において
有限群，無限群，位数とは.

A.
有限個の元からなる #群 G を
#有限群 と呼ぶ.

有限群 G の元の個数を
有限群 G の #位数 と呼び
|G| と表記する.

無限個の元からなる群 G を
#無限群 と呼ぶ.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
24

（番外編）#群論：#群 の #可換性 3題
https://www.youtube.com/watch?...

#可換
#代数 #代数学

#群論の初歩 20

Q.
#群 の3公理を
同値なまま簡潔化せよ

A.
#単位元 の存在は
#右単位元 の存在に置き換えられる:
任意の元 a に対し
ae＝a なる右単位元 e が存在.

#逆元 の存在は
#右逆元 の存在に置き換えられる:
各元 a に対し
a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.