#群論の初歩 22

Q.
#右単位元 eが存在.
ae＝e　①

任意の元aに対し
#右逆元 と左逆元が存在.
aa^{-1}＝a^{-1}a＝e　②

この時
左単位元が存在する事を示せ.

A.
②より
e a
＝(aa^{-1}) a
＝a (a^{-1}a)
②より
＝a e
①より
＝a

#群論の初歩 21

Q.
#右単位元 eが存在.

任意の元aに対し
その #右逆元 a^{-1}が存在.
aa^{-1}＝e　①

この時
#左逆元 が存在する事を示せ

A.
①の時
a^{-1}という元にも右逆元xが存在し
a^{-1}x＝e　②

a^{-1}a
=a^{-1}ae
②より
=a^{-1}aa^{-1}x
①より
=a^{-1}ex
=a^{-1}x
②より
=e

#群論の初歩 20

Q.
#群 の3公理を
同値なまま簡潔化せよ

A.
#単位元 の存在は
#右単位元 の存在に置き換えられる:
任意の元 a に対し
ae＝a なる右単位元 e が存在.

#逆元 の存在は
#右逆元 の存在に置き換えられる:
各元 a に対し
a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.