#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 49

Q.
n次 #正方行列 全体Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O} は,
#行列 の積演算について #群 か?

A.
例えば2×2行列の場合
X＝
(1 0
0 0)
Y＝
(0 0
1 0) の時
XY=YX=Oで
M－{O}の内部で演算が閉じていないので
群ではない.

(Oでない行列同士の積がOになり得る.)

#群論の初歩 48

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O}
は，
#行列 の和演算について #群 か?

A.
演算の #単位元 が存在しないので
群ではない.

#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.