#群論入門_剰余類編 37

Q.
集合 X を
#二項関係「～」による #同値類 で #類別 し
#同値分割 をつくる時，
#商集合 をどのような記号で表記するか

A.
"Xの「～」による商集合" を
X / ～
と表記する.

これは #同値類 の集合だから
X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X }
と書ける.

#群論入門_剰余類編 35

Q.
「集合は #同値類 によって #類別 できる」
かみ砕いて言い換えると

A.
ある #二項関係 がある時
その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば
その二項関係を使って
集合を #同値類 にわけることができ
それらの同値類で
もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 27

Q.
なんでわざわざ
「#同値律 を満たす」と言うの?
「#同値関係 である」で済むじゃん！

A.
数学の論理で
「同値関係にある」は
「2つのものが必要十分条件の関係性にある」
の意.

それと紛らわしいので，
#二項関係 の場合
「同値律を満たす」と言って区別する.

#群論入門_剰余類編 24

Q.
#二項関係「≠」を
「実数として値が異なる」
という意味で用いる場合
#同値関係 の定義式の
#推移律 を満たすか?

A.
実数a,b,cに対し
a≠b かつ
b≠c の時
a≠cとは限らない.
よって推移律は成り立たない.

「a≠b≠c」と書いた時に
「a≠c」とは言えない.

#群論入門_剰余類編 23

#二項関係 (binary relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合 A 上の二項関係は
「#直積 集合 A^2 = A × A の部分集合」
として定義される.
↓
が，それだとちょっと難しいので
とりあえず今のところ
「2元どうしの間の関係性」と考えればよい.

#群論入門_剰余類編 21

Q.
#同値関係 の定義
記憶しづらい.

A.
#二項関係 の対象(＝登場人物)
となる元の個数が各々
1個，2個，3個である事に注目するとよい.

(1) #反射律
a～a
元はaの1個

(2) #対称律
a～b⇒b～a
元はa,bの2個

(3) #推移律
a～b, b～c⇒a～c
元はa,b,cの3個

#群論入門_剰余類編 20

Q.
#同値関係 の(3)「#推移律」
どういう意味か

A.
推移関係 (transitive relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある3元 a, b, c と
ある #二項関係 R について，
a と b に R が成り立ち
b と c に R が成り立つ時
a と c にも R が成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 19

Q.
#同値関係 の(2)「#対称律」
どういう意味か

A.
対称関係 (symmetric relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある2元 a, b と
ある #二項関係 R について，
aRb が成り立つなら
bRa も成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 18

Q.
#同値関係 の「#反射律」が
成り立たないような #二項関係 の例は？

A.
例えば，不等号「＞」について
a＞aは成り立たないので
二項関係「＞」は反射律を満たさない。

反射律を満たさないので，
「＞」は同値関係ではない。

#群論入門_剰余類編 17

Q.
#同値関係 の(1)「#反射律」
どういう意味か

A.

反射関係 (reflexive relation)，
反射性 (reflexivity)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある元 a と
ある #二項関係 R について，
aが自分自身とRの関係にあるということ.
aRa

対義語は
無反射性 (irreflexivity)

#群論入門_剰余類編 16

Q.
数学における
#同値関係 とは.

A.
下記の3つの条件を満たす
関係性(#二項関係)「～」のことを
同値関係と呼ぶ.

(1) #反射律
a～a

(2) #対称律
a～b ⇒ b～a

(3) #推移律
a～b, b～c ⇒ a～c

#群論入門_正規部分群編 25

▶#部分群 について

A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時
A_1 ⊃ A_3 である.

つまり，⊃ という #二項関係 は
#推移律 を満たす.(#推移的)

▶#正規部分群 について

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

つまり，⊳ という二項関係は
推移律を満たさない.