#デジタル信号の周波数解析 100
↑
このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 98

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)の場合:
f(t)の #波形 が
「#数式 として得られていなくても」
利用可能だが，かわりに
t軸上で無限個のサンプル値が必要(無理).
さらに
ω軸上で無限区間の #積分 が必要(実用不可).

一方
#DFT なら有限個の数値だけで済む.

#デジタル信号の周波数解析 93

▶(複素)#フーリエ級数展開
t連続
ω離散

▶#フーリエ変換
t連続
ω連続

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t離散
ω連続

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t離散
ω離散

「t領域とω領域の両方で #離散的」はDFTだけ.
#解析的 な関数形が不要.
数値のみで処理可能!

#デジタル信号の周波数解析 92

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的
ω:離散 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t :離散 無限範囲
ω:連続 周期的

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t :離散 周期的
ω:離散 周期的

#デジタル信号の周波数解析 67

いま扱っている
#周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう.

N点で #サンプリング した時間波形
y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k)

#DTFT の結果であるF(ω)は
#複素正弦波 の和.
F(ω)を #標本化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ)
に対し

DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k)
↑
有限個(N個)の #正弦波 の和になった！

なお #DTFT の性質より
F(ω) はω軸上で
#周期 Ω=2π/τの #周期関数.

#デジタル信号の周波数解析 46

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ)
を #DTFT すると…

DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
ℱ[ Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ) ]
=
∫{-∞→∞} {
Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ)
} e^(－jωt) dt
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(－jωkτ)

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？

#デジタル信号の周波数解析 32

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)について
整理すると…

①DTFT:
#インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作

②DTFT^{-1}:
何をどう復元するか，に応じ
#積分 区間のバリエーションが3通り

③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され
①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 30

「#δ列 で表された信号」に対し
おもに行ないたい相互変換は
　#デジタル信号⇔#アナログ信号
の相互入れ換え.
(#サンプリング定理 の所で学んだ #sinc補間)

この #DA変換，#AD変換 を重んじるあまり
　t⇔ωの相互変換(=#DTFT)
は省いてしまうのだろう.

#デジタル信号の周波数解析 29

#信号処理 の本に
#離散時間フーリエ変換(#DTFT)が
載ってない事が多いのはなぜ？

理由は2つ

①DTFTの中身は ℱ と ℱ^{-1} だから
特記する必要ないやろ…と省く.

②#インパルス列 で相互変換したいのは
t⇔ωじゃなくて
#AD変換＆#DA変換やろ…と省く.

#デジタル信号の周波数解析 28

DTFT^{-1} の定義の #積分 範囲が
①{-π/τ→π/τ} #複素フーリエ級数展開
②{-∞→∞} #逆フーリエ変換
③{-π→π} ①を #規格化
の3通りある.
という事だが…

実は #信号処理 の教科書には
DTFT^{-1} どころか
#DTFT そのものが載ってなかったりする…！

#デジタル信号の周波数解析 27

#離散時間フーリエ変換
(Discrete-time Fourier transform，#DTFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･無限区間の #積分 として #逆変換 すると
通常の #フーリエ変換 の逆変換となり
#インパルス(#δ列)も復元.

・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 23

DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が…

①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら:
#DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし
複素フーリエ級数の展開係数の公式で
DTFT^{-1}を定義.

②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら:
それは単なる #逆フーリエ変換.

#デジタル信号の周波数解析 17

▶#フーリエ変換
#FT＝ℱ
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆フーリエ変換
FT^{-1}＝ ℱ^{-1}
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#離散時間フーリエ変換
#DTFT
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
DTFT^{-1}
#積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号の周波数解析 16

f(nτ)=f[n]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ②
e^(jnτω)
･
∫{-∞→∞} dt[ ①
Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt)
]
}

①#DTFT は
#積分 区間が{-∞→∞}だが
②DTFT^{-1}は
積分区間が有限範囲で済んでいる.

これは #フーリエ変換 には無い性質！

#デジタル信号の周波数解析 15

f(nτ)=f[n]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ②
e^(jnτω)
･
∫{-∞→∞} dt[ ①
Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt)
]
}

↑
この式の意味は
「①#DTFT してから②DTFT^{-1}すると
#デジタル信号 値 f(nτ) を
#δ関数 のかかっていない形で復元できる」

#デジタル信号の周波数解析 3

「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)…
↑
実は既に
#デジタル信号とサンプリング
のタグの中で多用してある.

#デルタ列 のかかった #アナログ信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
を
普通にt軸上で #フーリエ変換 した
ℱ[ y_d ] が
f(t) のDTFT.