#デジタル信号の周波数解析 100
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このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 99

#離散フーリエ変換(#DFT)の場合:

t軸上でf(t)の形が
#解析的 にわかる必要は無く
ω軸上でもF(ω)の形が
解析的にわかる必要は無い.

有限個の #数値 さえgetできれば
相互変換できる.

これら #デジタル信号 を #DA変換 すれば
#アナログ信号 も作れる！

#デジタル信号の周波数解析 98

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)の場合:
f(t)の #波形 が
「#数式 として得られていなくても」
利用可能だが，かわりに
t軸上で無限個のサンプル値が必要(無理).
さらに
ω軸上で無限区間の #積分 が必要(実用不可).

一方
#DFT なら有限個の数値だけで済む.

#デジタル信号の周波数解析 97

#DFT が「#数値 だけで済む」ことのメリット:
他の変換と比較

(複素)#フーリエ級数展開
#フーリエ変換
↑
この2つは
#時間領域 で関数f(t)の #波形 が
「数式として(#解析的 に)」得られていないと
#周波数領域 へ #変換 できない.
数値だけで処理不可.

#デジタル信号の周波数解析 95

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要で
純粋に「数値オンリー」な処理
↑
t軸上で #サンプリング されているし
ω軸上でもサンプリングされていて
tとωの両方の領域において
#デジタル信号 値(=#数値)だけ考えればよくなっているから.

#デジタル信号の周波数解析 94

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要
↑
つまり
t軸上でy=sin 2tのような
時間波形の解析的な関数形がわからなくてOK.

かわりに，t軸上で
N個のサンプル値(=#数値 の羅列)さえあればよい.

純粋に「数値オンリー」な処理なのである.

#デジタル信号の周波数解析 93

▶(複素)#フーリエ級数展開
t連続
ω離散

▶#フーリエ変換
t連続
ω連続

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t離散
ω連続

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t離散
ω離散

「t領域とω領域の両方で #離散的」はDFTだけ.
#解析的 な関数形が不要.
数値のみで処理可能!

#デジタル信号の周波数解析 92

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的
ω:離散 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t :離散 無限範囲
ω:連続 周期的

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t :離散 周期的
ω:離散 周期的

#デジタル信号の周波数解析 91

実用面においては
ざっくり「#フーリエ変換＝#FFT」
という認識でもOK.
FFTではない，遅い計算方法で
わざわざフーリエ変換を計算するメリットが無いから.

しかしFFTはあくまでも
#DFT を高速計算する「工夫」でしかないので
理論的にはDFTのほうが重要.

#デジタル信号の周波数解析 89

#高速フーリエ変換
(fast Fourier transform，#FFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#離散フーリエ変換(#DFT)を
計算機上で高速に計算する #アルゴリズム のこと.

1965年に発見された
「クーリー–テューキー型FFTアルゴリズム」
を指すことが多い.

#デジタル信号の周波数解析 88

#フーリエ変換 を
#離散化 したものが
#離散フーリエ変換(#DFT).

#DFT を素早く計算する処理を
実用化するための，
#計算量 のオーダーの工夫が
#高速フーリエ変換(#FFT).

この2つを混同しないように注意！

DFTは数学だが
FFTは #アルゴリズム である.

#デジタル信号の周波数解析 87

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#離散フーリエ変換 について
知っておくとよさそうな性質

ある #関数 を #DFT してから DFT^{-1} した時に:
・標本点では，元の関数と一致する.
・標本点以外では，元の関数と一致するとは限らない.

#デジタル信号の周波数解析 86

#離散フーリエ変換
discrete Fourier transform，#DFT
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
･#離散化 された #デジタル信号 の #周波数解析 に使用
･#高速フーリエ変換(#FFT)で高速計算可能
･逆は #逆離散フーリエ変換 inverse discrete Fourier transform，#IDFT

#デジタル信号の周波数解析 85

#逆離散フーリエ変換(#IDFT)
の式内のF[k]を
#離散フーリエ変換(#DFT)で表し
DFTとIDFTを
1つの式にまとめると:

f[n]
=
(1/N)Σ{k=0→N-1}{
F[k]･e^(j2πk･n/N)
}
=
(1/N)Σ{k=0→N-1}{
Σ{s=0→N-1} f[s] e^(-j2πk･s/N)
･
e^(j2πk･n/N)
}

#デジタル信号の周波数解析 84

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(－j2πk･n/N)

▶#逆離散フーリエ変換(#IDFT=DFT^{-1})
f[n]
=
(1/N)･
Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)

対称で美しい関係式！

互いに「N個のサンプル値の
重み付きの和」で結びついている.

#ComputationalChemistry #NoncovalentInteractions #RegiumBonds #DFT #CoinageMetals #Gold #Silver #Copper #ChemPhysChem #UIB

#デジタル信号の周波数解析 2

▶#アナログ信号 の周波数解析法:
･#フーリエ級数展開
･#複素フーリエ級数展開
･#フーリエ変換

▶#デジタル信号 の周波数解析法:
･#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
･#離散フーリエ変換(#DFT)
･#高速フーリエ変換(#FFT)
1つずつ見てゆこう！

#デジタル信号の周波数解析 1
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このタグは下記の事を学びます.

#デジタル信号 を #周波数解析 する方法:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない.

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 でも #周波数領域 でも
有限個の数値のみで計算可能.

ICAO: A0F1D7
Owner: DFT
Flt: N160BR C25B
Time: 2026-09-22 16:18:13 CDT
Min Alt: 24575 ft
Min Dist: 146.8 nm (-152deg SSW)

adsb planefence by kx1t sdr-e adsbexchange flightaware faa

#MM #DFT #MD #DrugDelivery #Montmorillonite #ZoledronicAcid #ClayMinerals