#デジタル信号の周波数解析 45

#有限長 #デジタル信号 とは…

#無限長 #アナログ信号 に
有限長(0≦t≦(N-1)τ)の #δ列 をかけた #波形
でもある.

y_{d,N} (t)
=
f(t)･{ Σ{k=0→N-1} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=0→N-1} f(t)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f(kτ)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 31

#AD変換 と #DA変換 の式を再掲.

▶#アナログ信号 から
#デジタル信号(#δ列)を得る:
y_d(t)
=
f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

▶デジタル信号(δ列)から
アナログ信号を復元:
y(t)
=
y_d(t) * sinc( ω_0･t )
=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t－kπ)

#デジタル信号の周波数解析 30

「#δ列 で表された信号」に対し
おもに行ないたい相互変換は
　#デジタル信号⇔#アナログ信号
の相互入れ換え.
(#サンプリング定理 の所で学んだ #sinc補間)

この #DA変換，#AD変換 を重んじるあまり
　t⇔ωの相互変換(=#DTFT)
は省いてしまうのだろう.

#デジタル信号の周波数解析 27

#離散時間フーリエ変換
(Discrete-time Fourier transform，#DTFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･無限区間の #積分 として #逆変換 すると
通常の #フーリエ変換 の逆変換となり
#インパルス(#δ列)も復元.

・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 24

DTFT^{-1} の式を見た時…

①#積分 範囲が{-π/τ→π/τ}なら
「#δ列 ではなく，
#δ関数 のかかっていない1個の信号値を
復元しているんだな」とわかる.

②積分範囲が{-∞→∞}なら
「ここでは DTFT^{-1} を
ℱ^{-1} と定義しているんだな」とわかる.

#デジタル信号の周波数解析 22

DTFT^{-1}の #積分 区間が:

①ω軸上1 #周期 なら
信号「値」1つを復元
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω)dω
=f[n]=f(nτ)

②{-∞→∞}なら
「#δ列 としての #デジタル信号」を復元
∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dt
=
Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.