#フーリエ変換の性質や諸公式 3

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

F(jω) と書く場合もあるし
F(ω) と書く場合もある.
どちらも同じこと.

「この #周波数 表現は #複素正弦波 ですよ」
ということを
特に明示・強調したい場合，
jω と書いたりする.

#デジタル信号の周波数解析 79

前ツイまでの計算を整理すると…

DTFT^{-1}[ F_d(ω) ]
=f[n]=f(nτ)
=
(1/N) Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N) ①

※Σの和の変数をmの代わりにkで書き直した.

この①の式こそが
#時間 tをnで #離散化 し
#周波数 ωもkで離散化した
#離散フーリエ逆変換！

#デジタル信号の周波数解析 67

いま扱っている
#周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう.

N点で #サンプリング した時間波形
y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k)

#DTFT の結果であるF(ω)は
#複素正弦波 の和.
F(ω)を #標本化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 35

▶#離散時間フーリエ変換 は
「#時間 変数 t のみがとびとび」

▶#複素フーリエ級数展開 は
「#周波数 変数 ω のみがとびとび」

↑
t と ω の両方を
とびとび(#離散)にできないか？

そうすれば #コンピュータ で
#数値計算 しやすくなる！

#デジタル信号の周波数解析 34

▶#離散時間フーリエ変換:
#時間 変数 t のみが
とびとびの値(k・τ)

DTFT[ f(t) ]
=
ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) ]

▶#複素フーリエ級数展開:
#周波数 変数 ω のみが
とびとびの値(k・2π/T)

f(t)
=
Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 33

#離散時間フーリエ変換 は
「#時間 変数tのみを
とびとびの値(k・τ)に限定」する操作.

似た概念で，
「#周波数 変数ωのみを
とびとびの値(k・2π/T)に限定」する操作
もある.
#複素フーリエ級数展開 である.

f(t)=Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 4

#アナログ信号 f(t) に対し
「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから
#フーリエ変換」するのが
#離散時間フーリエ変換.

DTFT[ f(t) ]
＝
ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ]

#デジタル信号(#サンプル値関数)の
#周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号とサンプリング 23

#折り返し雑音(folding noise)
#エイリアシング(aliasing)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

異なる #連続信号 が
#標本化 により区別不能になる事.

低すぎる #周波数 で #標本化 すると
#高周波 が #アンダーサンプリング され
#低周波 の折り返し雑音になる.

#デジタル信号とサンプリング 22

#サンプリング周波数 (sampling rate)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の
外側の #周波数 成分は，
復元時に #折り返し雑音 となるため，
#標本化 の前に
#帯域制限フィルタ により
遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21

#標本化定理 (#サンプリング定理)
sampling theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#波形 の最大 #周波数 の
2倍を超えた周波数で
#標本化(#サンプリング)すれば，
完全に元の波形に再構成される。」

#デジタル信号とサンプリング 19

#ナイキスト周波数(Nyquist frequency)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#サンプリング周波数 の1/2の #周波数.
#アナログ信号 の #周波数帯域 が
ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2)
以下に制限されていれば
#サンプリング 時に元信号の情報は失われない.

元学童保育指導員シンガーソングライター
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#縁の下の力持ち #シンセサイザー #音色 #ドラム #シーケンサー #チャンネル #大ざっぱ #オリジナル曲 #ギター #楽器 #ベース #低音域 #周波数

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 19

▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を
#フーリエ変換 すると，
#複素正弦波 になる.

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)

▶複素正弦波をフーリエ変換すると，
その正弦波の #周波数 にピークを持つような
δ関数になる.

ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 35

▶#1階微分 の場合:
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω･ℱ[ f(t) ]

▶#n階微分 に拡張:
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ]
=
{ (jω)^n }･ℱ[ f(t) ]

#n階 の #微分演算子 は
#周波数 ωのn乗に置き換えられる。
#微分方程式 は，単にωのn次式になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 30

#微分方程式 を解く時に便利な
#フーリエ変換 の性質…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
=
jω F( jω )

↑
「#微分 のフーリエ変換は
フーリエ変換の #周波数 倍」

#微分演算子 をjωに置き換えられるので
微分方程式が
ωの #代数方程式 になる！

寝不足が続いてた。
元気になるサプリを飲んだけど、
少ししか回復しなかった。
ヒーリーでエネルギー調整をきてみた。

すーーーーーっと身体が軽くなるのを感じた。

私は、ハンドヒーリングやヒーリーなど、
周波数などの方が変化を感じやすいな、と改めて感じました😊

エネルギー調整、興味ある人とつながっていきたいです。

連休終わり。
子供達の学校も始まり。

頑張ろう😊
#ヒーリー　#エネルギー調整　#周波数　#波動　#元気

#フーリエ変換の性質や諸公式 3

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

F(jω) と書く場合もあるし
F(ω) と書く場合もある.
どちらも同じこと.

「この #周波数 表現は #複素正弦波 ですよ」
ということを
特に明示・強調したい場合，
jω と書いたりする.

「古い魂」を持つ人の特徴。周りと違う感覚を抱えてきたあなたへ

「同世代のノリに、心の底からは乗れない」。そう感じてきた方へ。古い魂…

https://soulawakening.palmpsychology.com/furui-tamashii/

#古い魂 #周波数 #意味 #感覚 #スピリチュアル