#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 52

まず
#アナログ信号 の #フーリエ変換 を
しっかり学べば…

▶#デジタル信号 のフーリエ変換や
#z変換 もよく分かり，
#信号処理論 を習得できる.

▶アナログ信号の #ラプラス変換 もよく分かり，
#制御論 を習得できる.

なのでフーリエ変換の学習は大事！

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 99

#離散フーリエ変換(#DFT)の場合:

t軸上でf(t)の形が
#解析的 にわかる必要は無く
ω軸上でもF(ω)の形が
解析的にわかる必要は無い.

有限個の #数値 さえgetできれば
相互変換できる.

これら #デジタル信号 を #DA変換 すれば
#アナログ信号 も作れる！

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#デジタル信号の周波数解析 45

#有限長 #デジタル信号 とは…

#無限長 #アナログ信号 に
有限長(0≦t≦(N-1)τ)の #δ列 をかけた #波形
でもある.

y_{d,N} (t)
=
f(t)･{ Σ{k=0→N-1} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=0→N-1} f(t)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f(kτ)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 43

無限長 #アナログ信号 f(t) を
t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した
無限長 #デジタル信号:
y_d (t)
=
Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ)

これを #有限長 とするには
サンプル点をN個に制限.
有限長デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 31

#AD変換 と #DA変換 の式を再掲.

▶#アナログ信号 から
#デジタル信号(#δ列)を得る:
y_d(t)
=
f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

▶デジタル信号(δ列)から
アナログ信号を復元:
y(t)
=
y_d(t) * sinc( ω_0･t )
=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t－kπ)

#デジタル信号の周波数解析 30

「#δ列 で表された信号」に対し
おもに行ないたい相互変換は
　#デジタル信号⇔#アナログ信号
の相互入れ換え.
(#サンプリング定理 の所で学んだ #sinc補間)

この #DA変換，#AD変換 を重んじるあまり
　t⇔ωの相互変換(=#DTFT)
は省いてしまうのだろう.

#デジタル信号の周波数解析 6

#アナログ信号 f(t) を
#サンプリング周期 τ で #標本化 した
#デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について

DTFT[ f[n] ]
=
X(ωτ)
=
Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)
↑
よく見ると
#複素フーリエ級数展開
f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
に似ている？

#デジタル信号の周波数解析 4

#アナログ信号 f(t) に対し
「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから
#フーリエ変換」するのが
#離散時間フーリエ変換.

DTFT[ f(t) ]
＝
ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ]

#デジタル信号(#サンプル値関数)の
#周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号の周波数解析 3

「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)…
↑
実は既に
#デジタル信号とサンプリング
のタグの中で多用してある.

#デルタ列 のかかった #アナログ信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
を
普通にt軸上で #フーリエ変換 した
ℱ[ y_d ] が
f(t) のDTFT.

#デジタル信号の周波数解析 2

▶#アナログ信号 の周波数解析法:
･#フーリエ級数展開
･#複素フーリエ級数展開
･#フーリエ変換

▶#デジタル信号 の周波数解析法:
･#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
･#離散フーリエ変換(#DFT)
･#高速フーリエ変換(#FFT)
1つずつ見てゆこう！

#デジタル信号とサンプリング 42
↑
このタグの復習

①#AD変換:
#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法.
なぜ #インパルス列 が必要か

②#DA変換:
デジタル信号からアナログ信号を復元する方法.
#サンプリング定理，#サンプリング周波数

①②両方で
変換式をすぐ思い出せるように.

#デジタル信号とサンプリング 39

▶#アナログ信号 から
#デジタル信号 を得る式:
アナログ→デジタル変換(#AD変換).

y_d(t)
＝
y(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

▶デジタル信号から
アナログ信号を復元する式:
デジタル→アナログ変換(#DA変換).

y(t)
＝
y_d(t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 38

#アナログ信号 y(t)を
#サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した
#デジタル信号 y_d (t) に対し
デジタル信号から
アナログ信号を復元する #補間公式:

y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0=π/τ)

y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 33

#サンプリング周期 τ の
#デジタル信号 y_d(t) を使って
#アナログ信号 y(t) を表すと

y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0 ＝ π/τ)

めっちゃ綺麗な形になった。

この意味は
「デジタル信号に #sinc関数 を #畳みこむ と
アナログ信号に戻る！」

#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？