#デジタル信号の周波数解析 95

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要で
純粋に「数値オンリー」な処理
↑
t軸上で #サンプリング されているし
ω軸上でもサンプリングされていて
tとωの両方の領域において
#デジタル信号 値(=#数値)だけ考えればよくなっているから.

#デジタル信号の周波数解析 74

#逆離散時間フーリエ変換 の式に
「定数倍を加味した #サンプリング」済みの
#スペクトル F_d(ω)を代入

DTFT^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τ/2π)∫{0→2π/τ} F_d(ω)e^(jnτω) dω
=
(τ/2π)∫{0→2π/τ}{
(2π/Nτ) F(ω) δ_{Ω/M}(ω) e^(jnτω)
}dω
続

#デジタル信号の周波数解析 72

t軸上の #デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k]e^(-j(ωτ)k)

F(ω)に
【定数倍を加味した】#サンプリング をすると…
F_d(ω)
=
(2π/Nτ) F(ω) δ_{Ω/M}(ω)
=
(2π/Nτ) Σ{k=0→N-1}f[k]e^(－j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω)

#デジタル信号の周波数解析 71

▶#時間軸 上で
アナログ時間波形 f(t) を
N点で #サンプリング するには:

→周期τの #デルタ列 をかけるだけ.

▶#周波数軸 上で
周波数スペクトルのアナログ波形 F(ω) を
N点でサンプリングするには:

→デルタ列をかけたあとで
定数(2π/Nτ)倍すればOK.

#デジタル信号の周波数解析 70

F(ω)を #サンプリング する際
#デルタ列 をかけるだけでは不十分.
さらに定数(2π/Nτ)倍しておく事により
元信号の #エネルギー を
正確に維持した #標本化 となる.

よって，
2π/Nτ倍したものを改めて
#デジタル信号 F_d(ω) と
おきなおす必要がある.

#デジタル信号の周波数解析 67

いま扱っている
#周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう.

N点で #サンプリング した時間波形
y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k)

#DTFT の結果であるF(ω)は
#複素正弦波 の和.
F(ω)を #標本化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 59

整理

「t軸上もω軸上も
#離散 かつ #有限長 な
#フーリエ解析 の #変換 操作」を作る場合，

t軸上の #サンプリング周期 τを
#ナイキスト条件(#サンプリング定理)を
満たすようにとり

t軸上 #サンプリング 数Nと
ω軸上サンプリング数Mを
同じ値にする.

#デジタル信号の周波数解析 57

ω軸上の
#サンプリング 点の個数Mを増やすほど，
t軸上の時間 #波形 の
繰り返し #周期 の
幅Mτは長くなる.

しかし…
その幅Mτがあまり大きくなっても
メリットはない！

なぜなら
t軸上での時間波形の長さは
もともと幅Nτに制限されている前提だから.

#デジタル信号の周波数解析 56

前ツイより

ω軸上でM点で #サンプリング した
#デジタル信号 F_d(ω)の #波形 から

t軸上でN点で
#サンプリング周期 τでサンプリングした
デジタル信号y_{d,N}(t)の波形を
破損なく復元できるためには，

Nτ≦Mτ
∴
N≦Mならばよい！

通常，N=Mとおく.

#デジタル信号の周波数解析 51

ω軸上で #サンプリング した
F_d(ω)
=
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
の時間 #波形 を調べるため
#逆フーリエ変換 すると…

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
ℱ^{-1}[ F(ω)・δ_{Ω/M}(ω) ]

ω軸上の #積 は
t軸上の #たたみ込み だから
=
ℱ^{-1}[ F(ω) ]
*
ℱ^{-1}[ δ_{Ω/M}(ω) ]

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？

#デジタル信号とサンプリング 40

#AD変換 の意味:

仮に #関数 y＝f(t) の具体形が
#解析的 にわかっているとしよう.
(例: y＝sin 2t など)

A/D変換すなわち #サンプリング により，
t軸上で得られる情報は部分的になり
「無限個の #数値 の列(=#数列)」となる.
それが f(t)･δ_τ(t).

#デジタル信号とサンプリング 37

y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0=π/τ)
を変形し

y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t － kπ) ★

★の意味:
「#サンプリング 値を
#sinc で重みづけしながら総和をとれば，
サンプリングしなかった
いかなる時刻の原信号の値も復元できる！」

#デジタル信号とサンプリング 36

#サンプリング 値つまり
#時間軸 上での #離散的 な値の #数列
y(kτ) (kは整数)を使い，
任意の時刻における原信号
y(t)を復元すると

y(t)
=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0(t－kτ))

ω_0=π/τ
ω_0･τ=πなので

=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t－kπ )

#デジタル信号とサンプリング 22

#サンプリング周波数 (sampling rate)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の
外側の #周波数 成分は，
復元時に #折り返し雑音 となるため，
#標本化 の前に
#帯域制限フィルタ により
遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21

#標本化定理 (#サンプリング定理)
sampling theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#波形 の最大 #周波数 の
2倍を超えた周波数で
#標本化(#サンプリング)すれば，
完全に元の波形に再構成される。」

#デジタル信号とサンプリング 19

#ナイキスト周波数(Nyquist frequency)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#サンプリング周波数 の1/2の #周波数.
#アナログ信号 の #周波数帯域 が
ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2)
以下に制限されていれば
#サンプリング 時に元信号の情報は失われない.

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.