#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 44

「#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
#フーリエ変換 を導出できる」
↑
Tは信号の #周期 だから，
Tが無限大という事は
いつまでたっても信号の #波形 に
「繰り返しが現れない」という事.

つまり，#周期信号 ではない
一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 21

Q.
#フーリエ級数展開 は
#周期関数 しか扱えないので不便？

A.
物理的or工学的な問題を扱う際
無限に過去までとか
無限に未来までデータを知る必要は無い.
現実的に
「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象.
それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#アナログ信号の解析法 15

#フーリエ級数展開 で，
#信号 の区間(#周期)を
－πからπ　や
0から2π　とする流儀も多い。

その場合
「長さ2πの固定区間」の信号波形で
計算していることになり，
汎用性に欠けてしまう。

2πに固定せず，区間の長さLやTで
公式を覚えておいた方が良い。

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#デジタル信号の周波数解析 76

DTFT^{-1}[F_d(ω)]
=
(1/N)∫{0→2π/τ}dω{ F(ω)Σ{m=-∞→∞}δ(ω－m2π/τN)e^(jnτω) }

#δ関数 の引数で
ω=m2π/τN★
を満たせる整数mを探す.

#積分 区間よりωが満たす1 #周期 の条件は
0≦ω＜2π/τ
★より
0≦m2π/τN＜2π/τ
0≦m＜N

#デジタル信号の周波数解析 66

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω①

被積分関数は
#周期 π/τの #周期関数 ゆえ
#積分 区間を
{-π/τ→π/τ}から
{0→2π/τ}に変更できる.
∴
①=
(τ/2π)∫{0→2π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω

F(ω)に何を代入する？

#デジタル信号の周波数解析 60

M=Nという結果を使い
これまでの計算を書き直してみよう.

ω軸上の #周期関数 F(ω)を
1 #周期 内M点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)を
#時間領域 に戻すと…
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t)
=
(τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 58

t軸上の時間 #波形 の長さは
もともと幅Nτに制限されている前提で，
幅Nτを超えた部分の波形は
最初から問題にしていない.

なので
t軸上の時間波形の繰り返し #周期 の幅Mτが
Nτを超えて長くなっても
その差Mτ－Nτは無駄になる.
よって
MをM=Nととるべき.

#デジタル信号の周波数解析 57

ω軸上の
#サンプリング 点の個数Mを増やすほど，
t軸上の時間 #波形 の
繰り返し #周期 の
幅Mτは長くなる.

しかし…
その幅Mτがあまり大きくなっても
メリットはない！

なぜなら
t軸上での時間波形の長さは
もともと幅Nτに制限されている前提だから.

#デジタル信号の周波数解析 55

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)･
y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) ①

y_{d,N}(t) の範囲は
0≦t＜Nτ②

δ_{τM}(t) は
t軸上で #周期 Mτだから
①はy_{d,N}(t)の #波形 が
周期Mτで繰り返す.③

②③を比較すると
Nτ≦Mτなら
y_{d,N}(t)の波形を
破損なく復元可能！

#デジタル信号の周波数解析 54

F(ω)をω軸上で
1 #周期 あたりM点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)
を時間領域に戻すと
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π){ y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) }

y_{d,N}(t)はN点のみなので
t軸上の範囲は
0≦t＜Nτ

また
δ_{τM}(t)は
t軸上で周期Mτ

という事は…

#デジタル信号の周波数解析 49

ω軸上の #周期関数 F(ω)の #周期 が
Ω=2π/τの時
その1周期内でM個の点を #標本化 すると…

標本化の間隔はΩ/M(=2π/τM)なので
「ω軸上の #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
を
F(ω)にかける」という操作になる.

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ)
に対し

DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k)
↑
有限個(N個)の #正弦波 の和になった！

なお #DTFT の性質より
F(ω) はω軸上で
#周期 Ω=2π/τの #周期関数.

#デジタル信号の周波数解析 23

DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が…

①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら:
#DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし
複素フーリエ級数の展開係数の公式で
DTFT^{-1}を定義.

②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら:
それは単なる #逆フーリエ変換.