#アナログ信号の解析法 52

まず
#アナログ信号 の #フーリエ変換 を
しっかり学べば…

▶#デジタル信号 のフーリエ変換や
#z変換 もよく分かり，
#信号処理論 を習得できる.

▶アナログ信号の #ラプラス変換 もよく分かり，
#制御論 を習得できる.

なのでフーリエ変換の学習は大事！

#デジタル信号の周波数解析 100
↑
このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 99

#離散フーリエ変換(#DFT)の場合:

t軸上でf(t)の形が
#解析的 にわかる必要は無く
ω軸上でもF(ω)の形が
解析的にわかる必要は無い.

有限個の #数値 さえgetできれば
相互変換できる.

これら #デジタル信号 を #DA変換 すれば
#アナログ信号 も作れる！

#デジタル信号の周波数解析 95

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要で
純粋に「数値オンリー」な処理
↑
t軸上で #サンプリング されているし
ω軸上でもサンプリングされていて
tとωの両方の領域において
#デジタル信号 値(=#数値)だけ考えればよくなっているから.

#デジタル信号の周波数解析 86

#離散フーリエ変換
discrete Fourier transform，#DFT
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
･#離散化 された #デジタル信号 の #周波数解析 に使用
･#高速フーリエ変換(#FFT)で高速計算可能
･逆は #逆離散フーリエ変換 inverse discrete Fourier transform，#IDFT

#デジタル信号の周波数解析 83

#離散フーリエ変換:
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#周波数軸 上の1つの #デジタル信号 値
F[k] (0≦k≦N-1)は
#時間軸 上のN個のデジタル信号値
f[0], f[1], …, f[ N-1 ]
を展開係数とした
(逆回りの)#複素正弦波 の有限和で求められる.

#デジタル信号の周波数解析 80

#離散フーリエ逆変換:
f[n]
=
(1/N)Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)

#時間軸 上での1つの #デジタル信号 値
f[n] (0≦n≦N-1) は
#周波数軸 上でのN個のデジタル信号値
F[0], F[1], …, F[ N-1 ]
を展開係数とした
#複素正弦波 の有限和に展開できる.

#デジタル信号の周波数解析 72

t軸上の #デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k]e^(-j(ωτ)k)

F(ω)に
【定数倍を加味した】#サンプリング をすると…
F_d(ω)
=
(2π/Nτ) F(ω) δ_{Ω/M}(ω)
=
(2π/Nτ) Σ{k=0→N-1}f[k]e^(－j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω)

#デジタル信号の周波数解析 70

F(ω)を #サンプリング する際
#デルタ列 をかけるだけでは不十分.
さらに定数(2π/Nτ)倍しておく事により
元信号の #エネルギー を
正確に維持した #標本化 となる.

よって，
2π/Nτ倍したものを改めて
#デジタル信号 F_d(ω) と
おきなおす必要がある.

#デジタル信号の周波数解析 69

F(ω)を #標本化 した
F_d(ω)について
過去ツイで算出した「定数倍操作」…

#デジタル信号 y_{d,N}(t)を
正確に復元する式:
(2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t)
↑
この(2π/Nτ)倍を忘れないために
(2π/Nτ) F_d(ω) を一まとめにすべき.

#デジタル信号の周波数解析 68

#デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k)

F(ω)を #標本化 すると
F_d(ω)
=
F(ω) δ_{Ω/M}(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω)

さらに
定数倍する必要もあるのを覚えてる…？

#デジタル信号の周波数解析 63

ω軸上の #デジタル信号 F_d(ω)から
t軸上のデジタル信号y_{d,N}(t)を
定数倍も含め正確に復元する式
(2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t)

ℱ^{-1}は
「#無限長 #区間 の #積分∫」だが
これを
「#有限長 区間の総和Σ」で置き換えるには？

#デジタル信号の周波数解析 62

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] ①
=
(Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ②

②は
y_{d,N}(t)がt軸上でNτごとに
同じ #波形 を繰り返す #周期信号 の
Nτ/2π倍なので，

「もとの #デジタル信号 を復元する」
という操作を作るには
①のℱ^{-1}の所で2π/Nτ倍すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 61

ℱ^{-1}で
F_d(ω)からy_{d,N}(t)を復元可能か？

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ①

t軸上の #デジタル信号 y_{d,N}(t)は
#有限長(0≦t＜Nτ).

①は
y_{d,N}(t) がt軸上でNτごとに
同じ #波形 を繰り返す #周期信号(のNτ/2π倍).

#デジタル信号の周波数解析 60

M=Nという結果を使い
これまでの計算を書き直してみよう.

ω軸上の #周期関数 F(ω)を
1 #周期 内M点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)を
#時間領域 に戻すと…
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t)
=
(τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 56

前ツイより

ω軸上でM点で #サンプリング した
#デジタル信号 F_d(ω)の #波形 から

t軸上でN点で
#サンプリング周期 τでサンプリングした
デジタル信号y_{d,N}(t)の波形を
破損なく復元できるためには，

Nτ≦Mτ
∴
N≦Mならばよい！

通常，N=Mとおく.

#デジタル信号の周波数解析 54

F(ω)をω軸上で
1 #周期 あたりM点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)
を時間領域に戻すと
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π){ y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) }

y_{d,N}(t)はN点のみなので
t軸上の範囲は
0≦t＜Nτ

また
δ_{τM}(t)は
t軸上で周期Mτ

という事は…

#デジタル信号の周波数解析 50

ω軸上のアナログ波形F(ω)に，
ω軸上で #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
をかけたものは…

F_d(ω)
＝
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
ω軸上の #デジタル信号 になる.

これはt軸上でどんな #波形 か？
#逆フーリエ変換 してみよう.

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ)
に対し

DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k)
↑
有限個(N個)の #正弦波 の和になった！

なお #DTFT の性質より
F(ω) はω軸上で
#周期 Ω=2π/τの #周期関数.