#フーリエ変換の性質や諸公式 3

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

F(jω) と書く場合もあるし
F(ω) と書く場合もある.
どちらも同じこと.

「この #周波数 表現は #複素正弦波 ですよ」
ということを
特に明示・強調したい場合，
jω と書いたりする.

#アナログ信号の解析法 33

#複素フーリエ級数展開 のメリットは
もう1つあり…

「#複素正弦波 で書かれているので
変形して #フーリエ変換 を導出しやすい」
という利点がある.

フーリエ変換:
f(t)＝(1/2π) ∫{－∞→∞} F(ω) exp(jωt) dω
F(ω)＝∫{－∞→∞} f(t) exp(－jωt) dt

#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔

#デジタル信号の周波数解析 83

#離散フーリエ変換:
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#周波数軸 上の1つの #デジタル信号 値
F[k] (0≦k≦N-1)は
#時間軸 上のN個のデジタル信号値
f[0], f[1], …, f[ N-1 ]
を展開係数とした
(逆回りの)#複素正弦波 の有限和で求められる.

#デジタル信号の周波数解析 80

#離散フーリエ逆変換:
f[n]
=
(1/N)Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)

#時間軸 上での1つの #デジタル信号 値
f[n] (0≦n≦N-1) は
#周波数軸 上でのN個のデジタル信号値
F[0], F[1], …, F[ N-1 ]
を展開係数とした
#複素正弦波 の有限和に展開できる.

#デジタル信号の周波数解析 67

いま扱っている
#周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう.

N点で #サンプリング した時間波形
y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k)

#DTFT の結果であるF(ω)は
#複素正弦波 の和.
F(ω)を #標本化 すると…？

#フーリエ変換の具体的な計算 29
↑
このタグの復習…

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 25

#インパルス列 を
#複素フーリエ級数展開 すると…

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
展開係数c_n=1/Tより
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

つまりインパルス列は
#複素正弦波 の「均等な和」なのである！

#フーリエ変換の具体的な計算 19

▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を
#フーリエ変換 すると，
#複素正弦波 になる.

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)

▶複素正弦波をフーリエ変換すると，
その正弦波の #周波数 にピークを持つような
δ関数になる.

ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 9

t の #指数関数 の #積分 公式:
∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at)

#複素正弦波 e^(－jωt) を
t で積分すると
その指数部分の t の係数 －jω が
分母に落ちてくる.

その結果，
複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ
ωの #sinc関数 が生まれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

#フーリエ変換の性質や諸公式 3

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

F(jω) と書く場合もあるし
F(ω) と書く場合もある.
どちらも同じこと.

「この #周波数 表現は #複素正弦波 ですよ」
ということを
特に明示・強調したい場合，
jω と書いたりする.

#アナログ信号の解析法 33

#複素フーリエ級数展開 のメリットは
もう1つあり…

「#複素正弦波 で書かれているので
変形して #フーリエ変換 を導出しやすい」
という利点がある.

フーリエ変換:
f(t)＝(1/2π) ∫{－∞→∞} F(ω) exp(jωt) dω
F(ω)＝∫{－∞→∞} f(t) exp(－jωt) dt

#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔