#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#デジタル信号の周波数解析 70

F(ω)を #サンプリング する際
#デルタ列 をかけるだけでは不十分.
さらに定数(2π/Nτ)倍しておく事により
元信号の #エネルギー を
正確に維持した #標本化 となる.

よって，
2π/Nτ倍したものを改めて
#デジタル信号 F_d(ω) と
おきなおす必要がある.

#デジタル信号の周波数解析 69

F(ω)を #標本化 した
F_d(ω)について
過去ツイで算出した「定数倍操作」…

#デジタル信号 y_{d,N}(t)を
正確に復元する式:
(2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t)
↑
この(2π/Nτ)倍を忘れないために
(2π/Nτ) F_d(ω) を一まとめにすべき.

#デジタル信号の周波数解析 68

#デジタル信号 y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k)

F(ω)を #標本化 すると
F_d(ω)
=
F(ω) δ_{Ω/M}(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]e^(-j(ωτ)k) δ_{Ω/M}(ω)

さらに
定数倍する必要もあるのを覚えてる…？

#デジタル信号の周波数解析 67

いま扱っている
#周波数 スペクトルF(ω)の形を思い出そう.

N点で #サンプリング した時間波形
y_{d,N} (t) に対し
DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(-j(ωτ)k)

#DTFT の結果であるF(ω)は
#複素正弦波 の和.
F(ω)を #標本化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 65

#逆フーリエ変換 でなく
#逆離散時間フーリエ変換 なら
ω軸上の #積分 区間は #有限長 で済む.

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω) dω
=
f[n]=f(nτ)
↑
このDTFT^{-1}の公式で，F(ω)に
ω軸上で #標本化 した波形を代入すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 60

M=Nという結果を使い
これまでの計算を書き直してみよう.

ω軸上の #周期関数 F(ω)を
1 #周期 内M点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)を
#時間領域 に戻すと…
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t)
=
(τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 54

F(ω)をω軸上で
1 #周期 あたりM点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)
を時間領域に戻すと
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π){ y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t) }

y_{d,N}(t)はN点のみなので
t軸上の範囲は
0≦t＜Nτ

また
δ_{τM}(t)は
t軸上で周期Mτ

という事は…

#デジタル信号の周波数解析 49

ω軸上の #周期関数 F(ω)の #周期 が
Ω=2π/τの時
その1周期内でM個の点を #標本化 すると…

標本化の間隔はΩ/M(=2π/τM)なので
「ω軸上の #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
を
F(ω)にかける」という操作になる.

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 43

無限長 #アナログ信号 f(t) を
t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した
無限長 #デジタル信号:
y_d (t)
=
Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ)

これを #有限長 とするには
サンプル点をN個に制限.
有限長デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 6

#アナログ信号 f(t) を
#サンプリング周期 τ で #標本化 した
#デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について

DTFT[ f[n] ]
=
X(ωτ)
=
Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)
↑
よく見ると
#複素フーリエ級数展開
f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
に似ている？

#デジタル信号とサンプリング 38

#アナログ信号 y(t)を
#サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した
#デジタル信号 y_d (t) に対し
デジタル信号から
アナログ信号を復元する #補間公式:

y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0=π/τ)

y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 23

#折り返し雑音(folding noise)
#エイリアシング(aliasing)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

異なる #連続信号 が
#標本化 により区別不能になる事.

低すぎる #周波数 で #標本化 すると
#高周波 が #アンダーサンプリング され
#低周波 の折り返し雑音になる.

#デジタル信号とサンプリング 22

#サンプリング周波数 (sampling rate)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の
外側の #周波数 成分は，
復元時に #折り返し雑音 となるため，
#標本化 の前に
#帯域制限フィルタ により
遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21

#標本化定理 (#サンプリング定理)
sampling theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#波形 の最大 #周波数 の
2倍を超えた周波数で
#標本化(#サンプリング)すれば，
完全に元の波形に再構成される。」