#デジタル信号の周波数解析 74

#逆離散時間フーリエ変換 の式に
「定数倍を加味した #サンプリング」済みの
#スペクトル F_d(ω)を代入

DTFT^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τ/2π)∫{0→2π/τ} F_d(ω)e^(jnτω) dω
=
(τ/2π)∫{0→2π/τ}{
(2π/Nτ) F(ω) δ_{Ω/M}(ω) e^(jnτω)
}dω
続

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

＜#代数学の参考書＞

『物理で「群」とはこんなもの』
(共立出版1995小野)

書評より引用:
『2章「#群論 と #量子力学」は，
#群 の考えから
#スペクトル の性質が導かれる
という実際の例題で威力を見せる。
余り暇はないが群論を知っておきたい
と思っている研究者でも充分役に立つ。』

#デジタル信号とサンプリング 31

ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
2 ω_0･sinc(ω_0･t)
を使うと
#デジタル信号 の #スペクトル を
ω軸上で1 #周期 切り出した式は
2πy(-t)
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t)

π/τ=ω_0より
y(-t)
=
y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 25

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数 だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論入門
基礎からホログラフィへの道」(2020疋田)

p152より:
『#閉弦 の #超弦理論 は
#スペクトル の制限方法が2種類.
① タイプⅡA超弦理論
② タイプⅡB超弦理論
それぞれ
#低エネルギー有効理論 は
① タイプⅡA #超重力理論
② タイプⅡB超重力理論』

遠い宇宙の「見えない成長」を、地上の観測で拾い上げる面白さ
https://papoo.work/doc/60754225ec559aee
#ブラックホール #クエーサー #x線観測 #天文サーベイ #スペクトル

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