#デジタル信号の周波数解析 59

整理

「t軸上もω軸上も
#離散 かつ #有限長 な
#フーリエ解析 の #変換 操作」を作る場合，

t軸上の #サンプリング周期 τを
#ナイキスト条件(#サンプリング定理)を
満たすようにとり

t軸上 #サンプリング 数Nと
ω軸上サンプリング数Mを
同じ値にする.

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？

#デジタル信号の周波数解析 40

tもωも両方
･#離散(Σ)かつ
･周期的(#有限長)
であるような #変換 があれば…

・ t領域 → ω領域 の変換も
・ ω領域 → t領域 の #逆変換 も
#コンピュータ で
有限の #数値計算 で
処理可能になる！

そういう変換を
既存の変換式を変形し作ってみよう.

#デジタル信号の周波数解析 39

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的〇
ω:離散〇 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換
t :離散〇 無限範囲
ω:連続 周期的〇

tもωも両方
「#離散(Σ) かつ 周期的(#有限長)」な #変換 が欲しい！

#デジタル信号の周波数解析 36

コンピュータで #数値計算 するには

▶変数が #連続 ではダメ
(∫で #解析的 な数"式"処理が必要)
↓
#離散 変数なら
Σで数"値"和をとれる

▶信号長が無限範囲ではダメ
(#無限長 の信号スキャンが必要)
↓
#周期関数 なら
#有限長 の信号スキャンで済む

#デジタル信号の周波数解析 35

▶#離散時間フーリエ変換 は
「#時間 変数 t のみがとびとび」

▶#複素フーリエ級数展開 は
「#周波数 変数 ω のみがとびとび」

↑
t と ω の両方を
とびとび(#離散)にできないか？

そうすれば #コンピュータ で
#数値計算 しやすくなる！