#デジタル信号の周波数解析 76

DTFT^{-1}[F_d(ω)]
=
(1/N)∫{0→2π/τ}dω{ F(ω)Σ{m=-∞→∞}δ(ω－m2π/τN)e^(jnτω) }

#δ関数 の引数で
ω=m2π/τN★
を満たせる整数mを探す.

#積分 区間よりωが満たす1 #周期 の条件は
0≦ω＜2π/τ
★より
0≦m2π/τN＜2π/τ
0≦m＜N

#デジタル信号の周波数解析 24

DTFT^{-1} の式を見た時…

①#積分 範囲が{-π/τ→π/τ}なら
「#δ列 ではなく，
#δ関数 のかかっていない1個の信号値を
復元しているんだな」とわかる.

②積分範囲が{-∞→∞}なら
「ここでは DTFT^{-1} を
ℱ^{-1} と定義しているんだな」とわかる.

#デジタル信号の周波数解析 15

f(nτ)=f[n]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ②
e^(jnτω)
･
∫{-∞→∞} dt[ ①
Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt)
]
}

↑
この式の意味は
「①#DTFT してから②DTFT^{-1}すると
#デジタル信号 値 f(nτ) を
#δ関数 のかかっていない形で復元できる」

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#フーリエ変換の具体的な計算 29
↑
このタグの復習…

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28

ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω)
※Ω＝2π/T

「#インパルス列(#δ関数 の列)を
#フーリエ変換 すると
やはりインパルス列になる」
↑
この性質とても重要！
#信号処理 で，
#サンプリング定理 のカナメとなる部分が
この上記の性質から導出されているため.

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 19

▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を
#フーリエ変換 すると，
#複素正弦波 になる.

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)

▶複素正弦波をフーリエ変換すると，
その正弦波の #周波数 にピークを持つような
δ関数になる.

ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 17

ℱ[ δ(t－t_0) ] = e^(-jωt_0)

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[ δ(t－t_0) ] ] = ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]

重ねがけの公式より
左辺
=
2πδ(－t－t_0)
#δ関数 は #偶関数 より
=
2πδ(t＋t_0)

∴
ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0)

変形すると…?

#フーリエ変換の具体的な計算 16

#時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換
証明(2通り)

①
ℱ[δ(t-t_0)]
=∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt
=e^(-jωt_0)

②
時間シフトした関数のフーリエ変換の公式
ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0)
ℱ[δ(t)]=1
∴
ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 11

#デルタ関数 の #フーリエ変換 の証明:

ℱ[ δ(t) ]
=
∫{-∞→∞} δ(t) e^(－jωt) dt
#δ関数 の性質より
被積分関数にt=0を代入し
=
e^(－jω･0)
=
e^0
=
1

ω軸上の #定数関数 である事を明示するため
1_ω とか
1(ω) などと書く事も.

#フーリエ変換の具体的な計算 10

#時間軸 上の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#周波数軸 上では #定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ]＝1
↑
右辺は，ω軸上で常に
1という値を取り続ける定数関数.

#ディラック の #δ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt
=f(0)=定数

#フーリエ変換の具体的な計算 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列