#フーリエ変換の性質や諸公式 37

jω ℱ[ f(t) ]
=
jω F(jω)
=
ℱ[ (d/dt) f(t) ]

「#周波数領域 でjωをかける操作は
#時間領域 の #微分 操作と同じ」

では，jωでなく
(1/jω)をかけると…？

微分の逆で
#積分 になる！

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]

#デジタル信号の周波数解析 100
↑
このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 97

#DFT が「#数値 だけで済む」ことのメリット:
他の変換と比較

(複素)#フーリエ級数展開
#フーリエ変換
↑
この2つは
#時間領域 で関数f(t)の #波形 が
「数式として(#解析的 に)」得られていないと
#周波数領域 へ #変換 できない.
数値だけで処理不可.

#デジタル信号の周波数解析 60

M=Nという結果を使い
これまでの計算を書き直してみよう.

ω軸上の #周期関数 F(ω)を
1 #周期 内M点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)を
#時間領域 に戻すと…
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t)
=
(τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 52

F_d(ω) は #時間領域 では
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
ℱ^{-1}[ F(ω) ]
*
ℱ^{-1}[ δ_{Ω/M}(ω) ]

右辺第1項:
ℱ[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
より
ℱ^{-1}[ F(ω) ]=y_{d,N} (t) ①

右辺第2項:
ℱ^{-1}[ δ_{Ω/M}(ω) ]
=
(M/Ω)･δ_{2πM/Ω}(t) ②

という事は…？

#デジタル信号の周波数解析 1
↑
このタグは下記の事を学びます.

#デジタル信号 を #周波数解析 する方法:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない.

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 でも #周波数領域 でも
有限個の数値のみで計算可能.

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#非平衡系の物理学のメモ 26

#硬さ M'(ω) に関し
⊿M ＝ M'(0) － M_∞
を #緩和強度 と呼ぶ。
この ⊿M の #計測 は…

･#時間領域 では，
無限に時間を要するので計測困難。

･#周波数領域 では，
#散逸 を容易に積分可能なので
⊿Mへ換算できる(#総和則)。

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 37

jω ℱ[ f(t) ]
=
jω F(jω)
=
ℱ[ (d/dt) f(t) ]

「#周波数領域 でjωをかける操作は
#時間領域 の #微分 操作と同じ」

では，jωでなく
(1/jω)をかけると…？

微分の逆で
#積分 になる！

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]