#アナログ信号の解析法 53
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このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 3

①#フーリエ級数展開
#有限長 #連続信号 の
無限長離散スペクトルを得る.
cos,sinのΣで展開

②#複素フーリエ級数展開
①をexpに書き換え.
cos,sinの展開の2度手間を省く

③#フーリエ変換
#無限長 連続信号の
無限長連続スペクトルを得る.
expの #積分 で展開

#アナログ信号の解析法 2

①#有限長 信号
②#無限長 信号

①⇔②の相互入れ替え:

・有限長信号の #波形 は
「その波形が #周期的 に無限に繰り返される」
と考えれば
無限長信号にできる.

・無限長信号の波形は
周期性を見出す事ができれば
その周期部分に関する有限長信号として扱える.

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 73

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{0→2π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω
=f[n]=f(nτ)
↑
この式の F(ω) を
デジタル波形
F_d(ω)＝(2π/Nτ) F(ω) δ_{Ω/M}(ω)
に置き換えると…

#積分 区間が #有限長 なので
δ_{Ω/M}(ω) の #無限和 を有限範囲化できる！

#デジタル信号の周波数解析 65

#逆フーリエ変換 でなく
#逆離散時間フーリエ変換 なら
ω軸上の #積分 区間は #有限長 で済む.

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω) dω
=
f[n]=f(nτ)
↑
このDTFT^{-1}の公式で，F(ω)に
ω軸上で #標本化 した波形を代入すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 64

ℱ^{-1}(=#無限長 #区間 の #積分∫)
を
#有限長 区間の総和Σで置き換えたい.
↓
方針を思い出そう.
#ℱ ではダメだ！

▶#フーリエ変換
t : 連続● 無限範囲●
ω:連続● 無限範囲●

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散〇 無限範囲●
ω:連続● 有限長〇

#デジタル信号の周波数解析 63

ω軸上の #デジタル信号 F_d(ω)から
t軸上のデジタル信号y_{d,N}(t)を
定数倍も含め正確に復元する式
(2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t)

ℱ^{-1}は
「#無限長 #区間 の #積分∫」だが
これを
「#有限長 区間の総和Σ」で置き換えるには？

#デジタル信号の周波数解析 61

ℱ^{-1}で
F_d(ω)からy_{d,N}(t)を復元可能か？

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ①

t軸上の #デジタル信号 y_{d,N}(t)は
#有限長(0≦t＜Nτ).

①は
y_{d,N}(t) がt軸上でNτごとに
同じ #波形 を繰り返す #周期信号(のNτ/2π倍).

#デジタル信号の周波数解析 59

整理

「t軸上もω軸上も
#離散 かつ #有限長 な
#フーリエ解析 の #変換 操作」を作る場合，

t軸上の #サンプリング周期 τを
#ナイキスト条件(#サンプリング定理)を
満たすようにとり

t軸上 #サンプリング 数Nと
ω軸上サンプリング数Mを
同じ値にする.

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ)
に対し

DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k)
↑
有限個(N個)の #正弦波 の和になった！

なお #DTFT の性質より
F(ω) はω軸上で
#周期 Ω=2π/τの #周期関数.

#デジタル信号の周波数解析 46

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ)
を #DTFT すると…

DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
ℱ[ Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ) ]
=
∫{-∞→∞} {
Σ{k=0→N－1} f[k] δ(t－kτ)
} e^(－jωt) dt
=
Σ{k=0→N－1} f[k] e^(－jωkτ)

#デジタル信号の周波数解析 45

#有限長 #デジタル信号 とは…

#無限長 #アナログ信号 に
有限長(0≦t≦(N-1)τ)の #δ列 をかけた #波形
でもある.

y_{d,N} (t)
=
f(t)･{ Σ{k=0→N-1} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=0→N-1} f(t)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f(kτ)δ(t－kτ)
=
Σ{k=0→N-1} f[k]δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 43

無限長 #アナログ信号 f(t) を
t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した
無限長 #デジタル信号:
y_d (t)
=
Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ)

これを #有限長 とするには
サンプル点をN個に制限.
有限長デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？

#デジタル信号の周波数解析 40

tもωも両方
･#離散(Σ)かつ
･周期的(#有限長)
であるような #変換 があれば…

・ t領域 → ω領域 の変換も
・ ω領域 → t領域 の #逆変換 も
#コンピュータ で
有限の #数値計算 で
処理可能になる！

そういう変換を
既存の変換式を変形し作ってみよう.

#デジタル信号の周波数解析 39

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的〇
ω:離散〇 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換
t :離散〇 無限範囲
ω:連続 周期的〇

tもωも両方
「#離散(Σ) かつ 周期的(#有限長)」な #変換 が欲しい！

#デジタル信号の周波数解析 38

▶(複素)#フーリエ級数展開
t : 連続 周期的〇
ω: 離散〇 無限範囲

▶#フーリエ変換
t : 連続 無限範囲
ω: 連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散〇 無限範囲
ω: 連続 周期的〇

周期的〇 …範囲が #有限長
#離散〇 …∫の代わりにΣで済む