#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 42

▶#微分 の #フーリエ変換 は，
フーリエ変換に jω をかけたもの.

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω ℱ[ f(t) ]

▶#積分 のフーリエ変換は，
フーリエ変換を jω で割ったもの.

ℱ[ ∫{－∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1 / jω) ℱ[ f(t) ]

↑
対称な関係ですよね.

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 36

位置xと時間tに依存する量f(x,t)の
#偏微分方程式 が
位置での #偏微分 ∂f(x,t)/∂x と
時間での偏微分 ∂f(x,t)/∂t を含む場合…

空間パターンについて #フーリエ変換 すれば
∂f(x,t)/∂x は jωF(ω,t) になり
1変数tでの #常微分方程式 になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 34

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
[ f(t) e^{－jωt} ]_{-∞→∞} ①
－
(－jω)∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt ②

f(t)の #フーリエ変換 が存在する場合，
f(-∞)=f(∞)=0ゆえ
①=0

∴
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
0
+
jω ∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt
=
jωℱ[ f(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 33

t＝-∞ と t＝∞ において
f(t)＝0でなければ
{-∞→∞}の範囲での積分値が #発散 し
f(t) の #フーリエ変換 は存在しない.

そのような場合を除外し
f(t) のフーリエ変換 F(jω) が
存在する場合のみを考える事にすれば
f(-∞)＝f(∞)＝0 を仮定できる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 30

#微分方程式 を解く時に便利な
#フーリエ変換 の性質…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
=
jω F( jω )

↑
「#微分 のフーリエ変換は
フーリエ変換の #周波数 倍」

#微分演算子 をjωに置き換えられるので
微分方程式が
ωの #代数方程式 になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 29

①#たたみ込み の #フーリエ変換 は
フーリエ変換の #積.

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍).

ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]
=
2π ℱ[ f(t)･g(t) ]

なんとシンプル！

#フーリエ変換の性質や諸公式 28

#たたみ込み と #積 の #対称性 を
「#フーリエ変換 は」で揃えるのではなく
「畳み込みは」という主語に揃えて
言い換えると…

①畳み込みのフーリエ変換は
フーリエ変換の積

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍)

↑
覚えやすい！

#フーリエ変換の性質や諸公式 27

･#たたみ込み の #フーリエ変換 は
フーリエ変換の #積.

･積のフーリエ変換は
フーリエ変換の畳み込み.

↑
「畳み込み」と「積」とで
きれいに対称な関係.

計算しづらいもの(畳み込み)を
計算しやすいもの(積)に置き換えられて便利！

#フーリエ変換の性質や諸公式 26

▶#たたみ込み の #フーリエ変換 は
個別のフーリエ変換の #積 に等しい.
ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

▶積のフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の
畳み込み(の定数倍)に等しい.
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 24

ω軸上の #たたみ込み を
ω軸上で #フーリエ変換 すると…

ℱ_ω[
ℱ_t [ f(t) ]
*
ℱ_t[ g(t) ]
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t [ f(t) ] ]
・
ℱ_ω[ ℱ_t[ g(t) ] ]
畳み込みを #積 に変形できた！

フーリエ変換の重ねがけの公式より
=
2π f(－t)・2π g(－t)

#フーリエ変換の性質や諸公式 23

ω軸上の波形の #たたみ込み
{
ℱ[ f(t) ](jω)
*
ℱ[ g(t) ](jω)
}
を
ω軸上で #フーリエ変換 すると？

「畳み込みのフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積」という性質が
t軸上だけでなく
ω軸上でも成立するので
上式の畳み込みは積に変形できる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 22

ℱ_t
t軸上の #積分

ℱ_ω
ω軸上の積分

#フーリエ変換 の重ねがけの公式
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)
を使うと…

信号の #積 f(t)･g(t) を
2回フーリエ変換したら，
ℱ_ω[ ℱ_t[ f(t)･g(t) ] ]
=
2π f(－t)･g(－t)
という形になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 21

#積 f(t) g(t) の #フーリエ変換 の公式
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]
↑
どう証明したらよいか？

方針として，左辺の
ℱ[ f(t)･g(t) ]
という項は
そのままだと扱いづらいので
両辺にさらにℱをかけてみよう。
すると…

#フーリエ変換の性質や諸公式 20

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

「#たたみこみ の #フーリエ変換」は
個別のフーリエ変換の #積 に等しい.

では，
「積 f(t) g(t) のフーリエ変換」は
どうなるであろうか？

こうなる:
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 15

#たたみこみ積分 に関する
#フーリエ変換 の重要な性質:

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]
=
F(jω)・G(jω)

2信号の #たたみこみ のフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積 になる.
↓
たたみこみの面倒な計算を回避できる！
(積で代用できる)

#フーリエ変換の性質や諸公式 10

▶#フーリエ変換 後に
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る。
(ℱ_ω)^{-1} [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
f(t)

▶フーリエ変換後に
またフーリエ変換(重ねがけ)すると
もとには戻らず
#時間反転 する。
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

面白い性質ですね！

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.