#フーリエ変換の性質や諸公式 22

ℱ_t
t軸上の #積分

ℱ_ω
ω軸上の積分

#フーリエ変換 の重ねがけの公式
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)
を使うと…

信号の #積 f(t)･g(t) を
2回フーリエ変換したら，
ℱ_ω[ ℱ_t[ f(t)･g(t) ] ]
=
2π f(－t)･g(－t)
という形になる.

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
51 / 96

【微積分#51】演習⑦ ～ #連続関数 の #積分 ～
https://www.youtube.com/watch?...
21:46

#連続
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
13 / 14

#ストークスの定理 の証明と式の意味と例題！
https://www.youtube.com/watch?...
26:49

#積分 #面積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 19

前ツイ続き
ℱ[(f*g)(t)]
=
∫{-∞→∞}dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞}dt g(t－τ) e^(－jω{t－τ})
}
内側の #積分 でt－τをtと置換し
=
∫{-∞→∞} dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞} dt g(t) e^(－jωt)
}
=
ℱ[ f(t) ]･{
ℱ[ g(t) ]
} //

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
50 / 96

【微積分#50】#定積分 の性質
https://www.youtube.com/watch?...
18:12

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 8

f(t)
=
(1/2π)∫{-∞→∞}{
∫{-∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds
･
e^(jωt)
}dω
=
(1/2π)∫{-∞→∞} F(ω) e^(jωt) dω

両辺を2π倍し
tに－tを代入すると
2π f(－t)
=
∫{-∞→∞} F(ω) e^(－jtω) dω
=
ℱ[ F(ω) ]
※このℱはω領域での #積分.

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
12 / 22

【第１１弾】#グルサの定理
https://www.youtube.com/watch?...
27:12

#複素関数 #グルサー
#積分 #複素積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#ルベーグ積分と関数解析の参考書

「ルベーグ積分入門」(1974洲之内)

「#ルベーグ積分 の
理論的な展開を述べるだけでなく，
ルベーグ積分の結果を
#連続関数 などに適用し，
#微積分 がどのように
完成されるかを示す事を
1つの目標にした。
#微分 と #積分 の関係も
直観的な形に…」

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
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【微積分#49】#不定積分 の性質
https://www.youtube.com/watch?...
19:20

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
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【微積分#48】#原始関数 と #不定積分
https://www.youtube.com/watch?...
16:55

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
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②#ガウスの発散定理 の証明と式の意味！
https://www.youtube.com/watch?...
27:53

#ガウスの定理 #面積分 #積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
11 / 22

【第１０弾】#コーシーの積分公式 と #周回積分 公式
https://www.youtube.com/watch?...
17:34

#コーシー #積分 #複素積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#ルベーグ積分と関数解析の参考書

「ルベーグ積分入門」(1974洲之内)

『本書では
#リース の #流儀 に従って，
いわゆる #リーマン積分 の
#知識 も #仮定 しないで，
#ナイーブ な(#微積分 で学ぶ)
#積分 から直接
#ルベーグ積分 を導くことにした。
さらに，
初学者向きに平易に改め…』

#アナログ信号の解析法 18

③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt

n≠mの時，
③は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になるので
1周期 #積分 すると0

n＝mの時も同様。
cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で
1周期積分すると0

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
46 / 96

【微積分#46】演習⑥ ～ #一様連続 ・ #可積分 ～
https://www.youtube.com/watch?...
31:59

#積分 #連続
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#アナログ信号の解析法 17

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt

n≠mの時
①②の中身は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になり
1周期 #積分 すると0

n=mの時
①の中身=(1+cos 2nt)/2
②の中身=(1-cos 2nt)/2
いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10

#フーリエ級数展開:
cos(2πn・s/T)に
cos(2πm・s/T)をかけると…

▶cos cos や cos sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶cos^2 の項だけは
cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.