#デジタル信号の周波数解析 88

#フーリエ変換 を
#離散化 したものが
#離散フーリエ変換(#DFT).

#DFT を素早く計算する処理を
実用化するための，
#計算量 のオーダーの工夫が
#高速フーリエ変換(#FFT).

この2つを混同しないように注意！

DFTは数学だが
FFTは #アルゴリズム である.

#デジタル信号の周波数解析 86

#離散フーリエ変換
discrete Fourier transform，#DFT
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
･#離散化 された #デジタル信号 の #周波数解析 に使用
･#高速フーリエ変換(#FFT)で高速計算可能
･逆は #逆離散フーリエ変換 inverse discrete Fourier transform，#IDFT

#デジタル信号の周波数解析 82

DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
F(ω)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-jωnτ)

ここでω軸上での #サンプリング周期 は
(2π/τ)/N
=
2π/τN

∴
ω=k・2π/τN
と #離散化 でき
F(k・2π/τN)
=
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j{k･2π/τN}nτ)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#デジタル信号の周波数解析 81

#逆離散フーリエ変換
f[n]
=
(1/N) Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)
を定義できたのだから
逆ではない
「#離散フーリエ変換」も定義できるはず.

既に
DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
F(ω)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-jωτn)
を導出済みだが
ωを #離散化 すると…？

#デジタル信号の周波数解析 79

前ツイまでの計算を整理すると…

DTFT^{-1}[ F_d(ω) ]
=f[n]=f(nτ)
=
(1/N) Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N) ①

※Σの和の変数をmの代わりにkで書き直した.

この①の式こそが
#時間 tをnで #離散化 し
#周波数 ωもkで離散化した
#離散フーリエ逆変換！

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 42

#DTFT を…

①t領域を #有限長 にする:
t軸上の #標本化 点をN個に制限し
Σ{k=-∞→∞}を
Σ{k=0→N－1}に置き換えればよい

②ω領域を #離散化:
周波数 #スペクトル F(ω)に
ω軸上で #δ列 をかけて #サンプリング し
ω領域でも #デジタル信号 とすればよい

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？