#アナログ信号の解析法 22

共立出版2013
「フーリエ級数の使いみち」p16より引用

『必要な範囲よりほか
感知できる領域の外の事は
どうでもいいのである。

そこに数学的にくり返す値をもってきても
物理としては困らない。
そうする事により，積極的に
#周期関数 を作る事もできる』

#アナログ信号の解析法 21

Q.
#フーリエ級数展開 は
#周期関数 しか扱えないので不便？

A.
物理的or工学的な問題を扱う際
無限に過去までとか
無限に未来までデータを知る必要は無い.
現実的に
「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象.
それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#デジタル信号の周波数解析 66

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω①

被積分関数は
#周期 π/τの #周期関数 ゆえ
#積分 区間を
{-π/τ→π/τ}から
{0→2π/τ}に変更できる.
∴
①=
(τ/2π)∫{0→2π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω

F(ω)に何を代入する？

#デジタル信号の周波数解析 60

M=Nという結果を使い
これまでの計算を書き直してみよう.

ω軸上の #周期関数 F(ω)を
1 #周期 内M点で #標本化 した
#デジタル信号 F_d(ω)を
#時間領域 に戻すと…
ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(τM/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τM}(t)
=
(τN/2π)y_{d,N}(t) * δ_{τN}(t)

#デジタル信号の周波数解析 49

ω軸上の #周期関数 F(ω)の #周期 が
Ω=2π/τの時
その1周期内でM個の点を #標本化 すると…

標本化の間隔はΩ/M(=2π/τM)なので
「ω軸上の #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
を
F(ω)にかける」という操作になる.

#デジタル信号の周波数解析 48

t軸上のN点で #標本化 した
#有限長 #デジタル信号 y_{d,N} (t)
の #DTFT は
ω軸上の #周期関数 F(ω)で
#周期 はΩ=2π/τ.

このωは{-∞→∞}の #連続変数 だが，
#離散化(かつ有限範囲化)したい.

そのために
ω軸上の1周期内で
F(ω)のM点を標本化すると…？

#デジタル信号の周波数解析 47

#有限長 の #デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] δ(t－kτ)
に対し

DTFT[ y_{d,N} (t) ]=F(ω)
=
Σ{k=0→N-1} f[k] e^(-j{ωτ}k)
↑
有限個(N個)の #正弦波 の和になった！

なお #DTFT の性質より
F(ω) はω軸上で
#周期 Ω=2π/τの #周期関数.

#デジタル信号の周波数解析 36

コンピュータで #数値計算 するには

▶変数が #連続 ではダメ
(∫で #解析的 な数"式"処理が必要)
↓
#離散 変数なら
Σで数"値"和をとれる

▶信号長が無限範囲ではダメ
(#無限長 の信号スキャンが必要)
↓
#周期関数 なら
#有限長 の信号スキャンで済む

#デジタル信号の周波数解析 8

DTFT[ f(t) ]
=Σ{n=-∞→∞} f[n]e^(-jωτn)①
=F(ω)

F(ω)はω軸上で周期Ω=2π/τの #周期関数.
①はω軸上での #複素フーリエ級数展開.

現に
①
=Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(jωτn)
=Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･{ωτ/2π})
=Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･ω/Ω)

#デジタル信号の周波数解析 7

DTFT[ f(t) ]
=
ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ]
=
Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)①
=
F(ω)

#サンプリング定理 の所で
「F(ω)はω軸上で周期2π/τの #周期関数」
と学んだ.
周期関数は #複素フーリエ級数展開 でき
①はω軸上での複素フーリエ級数展開.

#デジタル信号とサンプリング 25

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数 だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#アナログ信号の解析法 22

共立出版2013
「フーリエ級数の使いみち」p16より引用

『必要な範囲よりほか
感知できる領域の外の事は
どうでもいいのである。

そこに数学的にくり返す値をもってきても
物理としては困らない。
そうする事により，積極的に
#周期関数 を作る事もできる』

#アナログ信号の解析法 21

Q.
#フーリエ級数展開 は
#周期関数 しか扱えないので不便？

A.
物理的or工学的な問題を扱う際
無限に過去までとか
無限に未来までデータを知る必要は無い.
現実的に
「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象.
それは #周期 Tを持つのと同じこと.