＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 15

Q.
座標軸を番号で表現し
Σ の表記を略す仕方で
ベクトルの #内積 を書く場合，
和を取るための仮変数は
「i」という字でなければいけないの？

A.
そんなことは無く
「和を取るための一時的な使い捨ての変数」
であることが分かれば基本何でもよい。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 14

Q.
座標軸を番号で表現し，
なおかつ Σ の表記を略す仕方で
ベクトルの #内積 を書け。

A.
↑A・↑B
= Σ_i A_i B_i
= A_i B_i

2次元なのか3次元なのかは文脈で自明。
i が「1から3までインクリメントして和を取る」という仮変数である事も自明。

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
28 / 86

【線形代数#28】#内積 ・ #絶対値 ～定義と性質～
https://www.youtube.com/watch?...
21:30

#ベクトル
#数学 #大学数学

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 8

Q.
ベクトルの #内積 をΣを使って書く。
「2次元と3次元で共通した表記」は？

A.
2次元
↑A・↑B
=A₁B₁＋A₂B₂
=Σ{i=1→2} A_i B_i

3次元
↑A・↑B
=A₁B₁＋A₂B₂＋A₃B₃
=Σ{i=1→3} A_i B_i

よって次元に関係なく
↑A・↑B ＝ Σ_i A_i B_i

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 7

Q.
座標軸をx,y,zで書くのをやめて
1,2,3のような番号で表記する。

3次元のベクトルの #内積 を
総和記号シグマ Σ を使って書け

A.
↑A＝(A₁, A₂, A₃)^T
↑B＝(B₁, B₂, B₃)^T

↑A・↑B
＝ A₁B₁ ＋ A₂B₂ ＋ A₃B₃
＝ Σ{i=1→3} A_i B_i

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 6

Q.
ベクトルの #内積 などの演算を
和記号シグマ Σ を使って
簡潔に表記できるようにするためには
何をどう調整すればよい？

A.
座標軸をx,y,zで書くのをやめて
1,2,3のような番号で表記すればよい。
例えば，縦ベクトル
↑A＝(A₁, A₂, A₃)^T

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 5

Q.
座標軸をx,y,z のように
アルファベットで表記することの欠点は

A.
番号ではないため
「一般化する方法が無く
シグマ Σ で整理できない」.

例えば3次元ベクトルの #内積 は
↑A・↑B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
のように6回も添え字を書く.

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 4

#電磁気学 の #ベクトル解析 の初歩として…

次ツイからは，まず
#アインシュタイン記法(添え字の #縮約記法)を使って
ベクトルの #内積 を書いてみよう！

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 2

このタグで学ぶこと　その１

▶#アインシュタイン記法(#縮約記法)
・ #内積，#外積，#二重イプシロン の公式
・ #スカラー三重積，#ベクトル三重積

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 1
↑
このタグでは，大学の #電磁気学 の初歩を
#ベクトル解析 を使って
数学的に記述・表現するために必要な
基礎知識をレクチャーします。

#内積，#外積，#ナブラ などに抵抗感がある人は
まずここで計算方法に入門しておこう。

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
6 / 14

#線積分（#ベクトル場）と #内積 と #重力 の #仕事
https://www.youtube.com/watch?...
10:59

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#群論の初歩 33

Q.
2つのベクトルに対する
#二項演算 として
#内積 および #外積 を考える時，
各々 #交換法則 を満たすか?

A.
内積の場合，
↑A・↑B
=
↑B・↑A
より交換法則が成り立つ.

外積の場合，
#歪対称性(反交換則)より
↑A×↑B
=
－↑B×↑A
となるので交換法則は成り立たない.

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 94

Q.
#アンペールの法則 の #周回積分 表示
∲_{∂S} ↑H・d↑s ＝Ｉ
に出てくる
↑H・d↑s
とは

A.
#ベクトル場 である #磁場 ↑Hのうち
曲線C＝∂Sに沿った方向(↑s方向)の成分を指す。
ベクトルから
ある方向の成分を取り出すには
#内積 を使う。