#群論入門_正規部分群編 6

Q.
#群論 における「#共役変換」とは.

A.
#群 G の2要素 x, a がある時，
x から
x の #共役元 として
y ＝ f(x) ＝ a^{-1} x a
という G の元 y を得る変換のことを
「x の a による共役変換」という.

この時，x と y は #共役 である.

＜#代数学の参考書＞

「復刊　有限群論」(共立出版1970伊藤)

この本の序文には
#Suzuki群 という #群 が出てくる.

しかし「Suzuki群」でググると
検索結果の一番上には
#群馬県 にある
#スズキ(自動車メーカー)の
販売会社が出てくる.

株式会社スズキ自販群馬
https://www.suzuki.co.jp/deale...
.

#群論入門_正規部分群編 3

Q.
#群 G のある元 x について，
x の #共役元 とは.

A.
群 G のある元 y について，
もし G に適当な元 a が存在し
y ＝ a^{-1} x a
の形に書けるならば
y を「x の共役元」(conjugate element) と呼ぶ.

この時，x と y は #共役 である.

#群論の知識

集合論で #選択公理 を仮定すれば，
有限集合・無限集合を問わず
任意の集合に #群 構造を入れることができる.

Group structure and the axiom of choice
https://en.wikipedia.org/wiki/...

http://alg-d.com/math/ac/gp.ht...
選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる

#群論入門_正規部分群編 2

Q.
#群 Gのある2元a, bに対し
その2元の関係が
#共役 であるとは.

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
共役(きょうやく,conjugate)

群Gのある元gが存在して
b ＝ g^{-1} a g　…①
と書ける時，
a と b は共役の関係にあるという.

①の式を
b ＝ a^g
とも表記する.

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 68

有限生成群 (finitely generated group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと.

・任意の #有限群 G は #有限生成 である.

・しかし，有限生成群の #部分群 は
必ずしも有限生成とは限らない.

#巡回群とは 67

Q.
#群論 において
#有限生成 とは.

A.
ある集合 S と，
S が #生成系 となって #生成 される #群
G ＝ ‹S› について
S が有限集合である時
G を有限生成(finitely generated)であるという.

#群論の知識

Q.
群が #完全可約 であるとは.

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G が
有限個の #単純群 の #直積 に
分解可能である場合，
Gは
完全可約(completely reducible)または
#半単純(semisimple)であるという.

＜#代数学の参考書＞

「リー群の話」(日本評論社1982佐武)

前書きより
『#現代的 にいえば，
#リー群 は
"#群" と "#多様体" の2つの概念を
#結合 させてできた物.
この2つの "#良家" の
#縁組 の結果生まれたリー群は，
#数学 の多くの
#重要 な分野に関係する
#非常に大切 な基礎概念…』

#巡回群とは 65

Q.

①#群論 で
#群 を生成するための
#生成元 や #生成系.

②#線形代数 で
#ベクトル空間 の #基底.

↑
似てる?

A.
①群の任意の元は
生成元の #べき または
生成系の #べき積 で
表せる.

②ベクトル空間の
任意の元(#ベクトル)は
基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 64

x, y ∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶#巡回部分群 の性質より
①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群
②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群

▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より
③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
について学ぶと
「複数の元」と #部分群
の関係について見方が変わる。

「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」
という事は，何を意味する?

A.
「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる
群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 62

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
の時

Gの部分集合Mを色々変えながら
Mが #生成系 となる #部分群 ‹M› を
作ってゆくと…

H_1 = ‹ g_1, g_2 ›
H_2 = ‹ g_1, g_3 ›
H_3 = ‹ g_2, g_3 ›
H_4 = ‹ g_1, g_2, g_3 ›
…

のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

#巡回群とは 61

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
って
スゴく便利なのでは？

A.
#群 Gの複数の元の組み合わせで
さまざまな部分集合Mを作れるが…

そのどのMからも
「Mが #生成系 となる群」をつくれて
その群は必ずGの #部分群 になる.

Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 60

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, …, a_m }
の #べき積 の全体がなす集合は
Gの #部分群 である事を示せ.

A.
Mのべき積の全体という集合が
群をなす事は証明済み.
ここでMはGの部分集合だから
MはGの部分群となり
M≤G が言える.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

＜#代数学の参考書＞

『物理で「群」とはこんなもの』
(共立出版1995小野)

書評より引用:
『2章「#群論 と #量子力学」は，
#群 の考えから
#スペクトル の性質が導かれる
という実際の例題で威力を見せる。
余り暇はないが群論を知っておきたい
と思っている研究者でも充分役に立つ。』

#巡回群とは 58

Q.
#べき積 どうしの積は
べき積になるだろうか.

#群 Gの部分集合
M={a,b}を #生成系 とし
べき積z=(a^2)bに対し
zとzの積は?

A.
Gが一般的な群の場合
z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b
これは「Mから重複を許して
元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので
べき積である.

#巡回群とは 57

Q.
「#べき積 を作る際
#群 の部分集合Mから元を取り出す操作において
重複があってもよい」
↑
どういう事か

A.
例えばM={a, b}を #生成系 とする場合
(a^2)(b^3) とか
a b^{-2} のような形だけでなく
(b^2)(a^{-1})(b^3)a^2 みたいに
M内の同じ元を繰り返し使ってよい.