#群論入門_正規部分群編 47

Q.
#群 G の #交換子群 とは.
(1) 定義
(2) どう表記するか
(3) Gとの関係は

A.
(1)
群 G と G 自身との交換子群
[ G, G ] ＝ ‹ [ g1, g2 ] | g1, g2 ∈ G ›
のこと.

(2)
D(G) ＝ [ G, G ]

(3)
G ⊳ D(G)
交換子群はもとの群の #正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 46

Q.
#群 Gの #正規部分群 A, Bに対し，
#交換子群 [A, B] も
Gの正規部分群であることを示せ.

A.
t∈G, a∈A, b∈Bに対し
前ツイより
t^{-1} [a, b] t
=[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B]

よって [A, B] の元は
Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 45

Q.
#群 G のある元a, b, tについて
t^{-1} [ a, b ] t
＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]
↑
どういう意味?

A.
「#交換子 の #共役元 は
共役元の交換子である」.

t^{-1}とtではさむ #共役変換 が
交換子の記号の内側に入り込み
2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 44

Q.
#群 Gのある元a,b,tについて
t^{-1} [ a, b ] t
を #交換子 で表せ.

A.
=t^{-1} (a^{-1} b^{-1} a b) t
=(t^{-1}a^{-1}t)･(t^{-1}b^{-1}t)･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt)
=(t^{-1}at)^{-1}･(t^{-1}bt)^{-1}･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt)
=[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]

#群論入門_正規部分群編 43

#特性部分群(characteristic subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

もとの #群 の
全ての #自己同型 写像で
不変な #部分群.

#共役変換 は #内部自己同型写像 なので
全ての特性部分群は #正規部分群.

特性部分群の例:
・群の #中心
・ #交換子群(交換子部分群)

#群論入門_正規部分群編 42

#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.

・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 41

Q.
定義を比較

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)

A.
①
[a,b]
=a^{-1}b^{-1}ab

②
[A,B]
=‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ★
=‹ a^{-1}b^{-1}ab | a∈A, b∈B ›
全ての交換子の組合わせの集合が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 40

Q.
#群 Gの #部分群 A, Bについて
「AとBとの #交換子群」とは.

A.
Aの元aと
Bの元bとの #交換子 [ a, b ] の
全体がなす集合Sについて，
Sが #生成 する(#生成系 となる)ような
G の部分群
‹ [ a, b ] | a∈A, b∈B ›
のこと.
[ A, B ] と表記する.

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

前書きより:
『本書は，数学的成長の
比較的初期の者に
向けた提示が目標.
抽象性から起こる
困難を避けて通るため
#群 の幾何図形つまり
群の #グラフ を用いた.
こうして #抽象群 は，
群構造に対応する
視覚的類型に具体化される.』

#群論入門_正規部分群編 38

Q.
#群 の「交換子と交換子の積が
一般に #交換子 になるとは限らない」
の証明は

A.
On commutators in groups
https://www.researchgate.net/p...
"the set of commutators does not necessarily form a subgroup" (交換子全体の集合は #部分群 をなすとは限らない)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
111

#群論：2個の非自明な #部分群 をもつ #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 36

Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？

A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.

つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.

よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 34

Q.
(1)
#群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ.

(2)
Gが #アーベル群.

(1)⇔(2)を示せ

A.
(1)の時
Gの任意の2元a,bに対し
[a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e
→ab＝ba
となりGはアーベル群.

逆に(2)の時
Gの任意の2元a,bに対し
ab＝ba
→a^{-1}b^{-1}ab＝e
∴[a,b]＝e

#群論の知識

群の #表現 (group representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象的な #群 Gの元gに対し
具体的な #線形空間 Vの
#正則 な #線形変換 としての実現を与える
#準同型写像 π: G→GL(V) のこと.

・群Gから
線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への
準同型写像.

#群論入門_正規部分群編 33

Q.
#群 Gの2元x,yについて
[x, y] ∈ G
の #逆元 をG内で求め
#交換子 で表せ

A.
([x, y])^{-1}
=(x^{-1}･y^{-1}･x･y)^{-1}
複数元の積の逆元は
各元の逆元の逆順の積なので
=y^{-1}･x^{-1}･(y^{-1})^{-1}･(x^{-1})^{-1}
=y^{-1}･x^{-1}･y･x
=[y, x]

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
109

#群論：要素の #位数 が総て #素数 である #群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論入門_正規部分群編 32

Q.
#群 G の #単位元 e について
e が常に #交換子 であることを示せ.

A.
交換子を計算する際の引数として
2つとも e をとれば，
[ e, e ]
＝ e^{-1} e^{-1} e e
＝ e e e e
＝ e

よって
e ＝ [ e, e ]
なので，単位元は
交換子としての表記が可能である.

#群論入門_正規部分群編 31

Q.
#群 Gの2つの元a,bの
#交換子 とは…
1) 定義
2) 何に役立つか

A.
1)
演算結果
a^{-1} b^{-1} a b ∈ G
のこと.
[a, b] と書く.

2)
[a, b] = e (#単位元)
である事と
a,bが #可換 である事は同値.

a^{-1} b^{-1} a b＝e
⇔
ab＝ba
2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.