#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
55

#群論：#部分群 の積
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」とは.

A.
#群 G の #部分群 が
下記の条件を満たせば
「シロー p-部分群」
(Sylow p-subgroup).

① p-群である.
(任意の元の #位数 が素数 p のべき)

② G の他のどんな p-部分群 の
#真部分群 でもない.

つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 86

英語名称のおさらい・続

#加法群 additive group
#乗法群 multiplicative group
#加群 module

#部分群 subgroup
#自明な部分群 trivial subgroup
#真部分群 proper subgroup

#古典群 classical groups
#行列群 matrix group

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 78

ユニタリ群 (unitary group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ n 次の #ユニタリ群 U(n) とは
n 次 #ユニタリ行列 のなす #群 のこと.

・ユニタリ群 U(n) は
#一般線形群 GL_n の #部分群.

#群論の初歩 76

#特殊直交群 SO(n) が
#直交群 O(n) の
#部分群 である事の証明は，
下記などを参照のこと.

直交群 / 偶数次元における O(n) と SO(n) の違い
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

SO(n)がO(n)の正規部分群であることの証明
https://detail.chiebukuro.yaho...
.

#群論の初歩 74

直交群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #直交群 とは
元がn×nの実 #直交行列 で
群の積が行列の積によって与えられるもの.

・直交行列の #行列式 は ±1

・O(n) の重要な #部分群 である
#特殊直交群 SO(n) は
行列式が+1である直交行列からなり
#回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#群論の初歩 68

Q.
ℤ 整数全体の集合
ℚ 有理数全体の集合
ℝ 実数全体の集合
ℂ 複素数全体の集合

この4つの集合について
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
これら4つはいずれも #アーベル群 となる.

部分群の関係を G≥H のように表記すると
ℤ≤ℚ≤ℝ≤ℂ

#群論の初歩 66

Q.
「自明でない #部分群 を持たない」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと
素数に似ている.

素数pは
1と
自分自身pでしか割り切れない。
(自明な約数しか持たない)

群Gも，
#単位群{e}と
自分自身Gという
自明な部分群しか持たない場合がある.

#群論の初歩 65

部分群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・部分群と拡大群:
H が G の #部分群 である時，
G は H の #拡大群 である
と表現する場合がある.

・記号の表記法:
H ≤ G
"H is a subgroup of G".

・G の #真部分群 とは
部分群 H が G の
真部分集合(H≠G）であることを指す.

#群論の初歩 64

Q.
#真部分群 とは

A.
#自明な部分群 を除いた #部分群 を
真部分群(proper subgroup)と呼ぶ.

#群 Gの部分群としては
Gそのものと{e}を含むが，
群Gの真部分群には
Gそのものを含まない.

※ {e}は，定義によって
群Gの真部分群に含めない場合も
含める場合もある.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
42

#群論：#内部自己同型 と #部分群 の #共役
https://www.youtube.com/watch?...

#同型 #自己同型
#代数 #代数学

#群論の初歩 63

Q.
#自明な部分群 とは

A.
#群 Gの部分集合のうち
下記の２つを
Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ.

(1)
群Gそのもの

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 60

Q.
#群 G の部分集合 H が
Gの #部分群 となるために
H が満たすべき2条件

A.
(1) H の任意の2元 a, b に対し
ab は H の元.
(Gと同じ #二項演算 が
部分群の内部で #閉じている)

(2) H の任意の元 a に対し
その逆元a^{-1}は H の元.
(部分群の内部で
#逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 59

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

素数全体
ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℙの2元 a, b に対し
a＋b ∈ℙは常に成立せず
二項演算が閉じていないので
ℙは #群 ではない.
よってℙはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57

Q.
整数全体の集合
ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

偶数全体の集合
2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … }

と表記するとき
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
ℤも 2ℤ も各々 #群 である.

2ℤ はℤの部分集合だから，
2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56

Q.
#部分群 とは何か説明

A.
#群 G の部分集合Hをとり，
Gの #二項演算 によって
Hが群になるとき，
HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ.

もとの集合の
「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」
というわけ.

この時，GとHで
単位元や逆元は共通となる.