#群論の知識

#有限アーベル群の構造定理
(structure theorem of finite abelian group)
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・有限アーベル群の基本定理とも.
・「任意の #有限アーベル群 は，#巡回群 の #直積 に #同型」.
・ #クロネッカー が1870年に証明.

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#有限アーベル群 (finite abelian group)
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#有限群 かつ #アーベル群.
#有限生成アーベル群 の特別な場合.

さまざまな応用がある:
・調和解析
・合同算術
・ #ガロア理論
・情報理論

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自由アーベル群 (free abelian group)
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・ #基底 をもった #アーベル群 のこと.
・ #ベクトル空間 とよく似ている.

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#自由群 (free group)
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#公理 から来る自明なもの以外に，
元の間の等式がない #群 のこと.

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#群 の #表示 (presentation of group)
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群を
①#生成元 と
②生成元の間に成り立つ関係
によって特定すること.

一般に群は必ず表示を持つが
一意的ではない.

①の生成元のみがあり
②の関係が定義されない場合は，
#自由群 という.

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#シローの定理 その3:

#群 G, 素数p, 自然数nに対し
|G|＝(p^n)･m
p∤m (割り切らない)
|Syl_p(G)| ＝ L
P ∈ Syl_p(G)
N_G(P)はGにおけるPの #正規化群
の時，
L | m (割り切る)
L ≡ 1modp
L ＝ |G : N_G(P)| ( : は #指数)
が成り立つ.

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#シローの定理 その2:

「素数 p を固定した時，
#有限群 G の全てのシロー p-部分群は
互いに #共役 である
(G内の #共役変換 を通して #同型 である).」

H と K が
#群 G のシロー p-部分群であれば，
g^{-1}Hg＝K なる G の元 g が存在.

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#シローの定理 (Sylow theorems)
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その1:
「#有限群 G の #位数 が
素因数 p を重複度 n で約数として持てば，
位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」

これは #コーシーの定理 よりも強い.

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Q.
「シロー p-部分群」を表す記号

A.
#群 G と素数 p に対し，
「G の全てのシロー p-部分群の集合」
を
Syl_p ( G )
と書く.

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」とは.

A.
#群 G の #部分群 が
下記の条件を満たせば
「シロー p-部分群」
(Sylow p-subgroup).

① p-群である.
(任意の元の #位数 が素数 p のべき)

② G の他のどんな p-部分群 の
#真部分群 でもない.

つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

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(#群論 の) #コーシーの定理
Cauchy's theorem
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「#有限群 G の #位数 |G| が
素数 p の倍数であれば，
G は #位数 p の元を含む.」

1845年に #コーシー が証明.

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▶p-群 (p-group)
任意の元の #位数 が「素数 p のべき」である.

▶基本アーベル p-群
(elementary abelian p-group)
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・任意の非自明な元の位数が「素数 p」 である.
・基本アーベル群，初等アーベル群とも呼ぶ.

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p-群 (p-group)
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・p-準素群(p-primary group)とも.

・任意の元の #位数 が
素数 p のべきになっている.

・ #群 の構造を理解するための
基本的な道具の1つ.

・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」
という都市伝説的な予想がある.

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#群 の #直積 (direct product of groups)
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群 A, B に対し
集合としての直積
A×B を考え，
その2元
x＝(a_1, b_1)
y＝(a_2, b_2)
x, y ∈ A×B
に対し
積を
xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2)
のように成分ごとの #二項演算 として定義すると
A×B は群となる.

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ヘルマン・モーガン記号
(Hermann–Mauguin notation)
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・結晶の #点群 や #空間群 を記述する記法.

・国際記法(international notation)とも呼ばれる.

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#シェーンフリース 記号 (Schoenflies notation)
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#点群 を記述するために
用いられる記法の1つ.
物理学や化学で，分子を記述するために使われる.

ドイツの数学者 Schönflies にちなんだ名称.

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#点群:
3次元ユークリッド空間における
対称操作は7つある. (後半)

(5)#回映: ある軸(回映軸)に対し回転させた後，その軸に垂直な面について面対称に移動させる.
(6)#回反: ある軸(回反軸)に対し回転させた後，その軸上の1点について点対称に移動させる.
(7)並進操作: 平行移動

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#点群:
3次元ユークリッド空間における
対称操作は7つある. (前半)

(1) #恒等変換: 何の移動もしない.
(2) #回転: ある軸(対称軸)に対して回転.
(3) #鏡映: ある面(対称面)について面対称に移動.
(4) #反転: ある点(対称中心)について点対称に移動.

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#点群 (point group)
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「ある図形の形を保ったまま行う
移動操作のうち，
少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を
元とする #群.

結晶や分子 #対称性 を記述するため
3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

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#二面体群 (dihedral group)
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#正多角形 を自分自身に移す
#合同変換 全体のなす #群.

正多角形を3次元空間で見て
裏表の区別を付けたもの.

正n角形の二面体群 D_n は
2n 通りの合同変換からなる.
内訳は
n通りの #回転 と
n通りの #鏡映.