#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.

#群論入門_正規部分群編 25

▶#部分群 について

A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時
A_1 ⊃ A_3 である.

つまり，⊃ という #二項関係 は
#推移律 を満たす.(#推移的)

▶#正規部分群 について

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

つまり，⊳ という二項関係は
推移律を満たさない.

#群論入門_正規部分群編 21

Q.
群Gの #正規列 とは

A.
#群 Gの #部分群 の列で
G ＝ H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ⊃ … ⊃ H_n ＝{e}
のように
有限の n において
末尾が #単位群 になるものを考える.

ここで各1≦i≦nにおいて
H_i が
H_{i-1} の #正規部分群 ならば
この列をGの正規列と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 17

Q.
#アーベル群 Gの
#部分群 Nは，
Gの #正規部分群 でもある事を示せ

A.
Nの元nの
Gの元gによる #共役変換 は
f(n)
=g^{-1} n g
GとNは #二項演算 が共通で
nはGの元でもあり
G内とN内で #交換法則 が成立するので
=g^{-1} g n
=n ∈N

∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 14

#正規部分群 (normal subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 の任意の元による
#内部自己同型写像(#共役変換)のもとで
不変な #部分群 のこと.

正規部分群の重要性を
最初に明らかにしたのは，
#エヴァリスト・ガロア である.

#群論入門_正規部分群編 12

Q.
#正規部分群 とは.

A.
#群 G の #部分群 N について，
N の任意の元 n が
「G の任意の元 g による #共役変換」の結果
ふたたび N に属する時
N を G の正規部分群と呼び
G⊳N と表記する.

論理記号で表すと
∀n∈N, ∀g∈G, (g^{-1} n g)∈N
⇔
G⊳N.

#群論入門_正規部分群編 1
↑
このタグでは
#部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに
下記の事項を解説しますぞ！

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 68

有限生成群 (finitely generated group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと.

・任意の #有限群 G は #有限生成 である.

・しかし，有限生成群の #部分群 は
必ずしも有限生成とは限らない.

#巡回群とは 64

x, y ∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶#巡回部分群 の性質より
①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群
②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群

▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より
③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
について学ぶと
「複数の元」と #部分群
の関係について見方が変わる。

「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」
という事は，何を意味する?

A.
「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる
群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 62

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
の時

Gの部分集合Mを色々変えながら
Mが #生成系 となる #部分群 ‹M› を
作ってゆくと…

H_1 = ‹ g_1, g_2 ›
H_2 = ‹ g_1, g_3 ›
H_3 = ‹ g_2, g_3 ›
H_4 = ‹ g_1, g_2, g_3 ›
…

のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

#巡回群とは 61

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
って
スゴく便利なのでは？

A.
#群 Gの複数の元の組み合わせで
さまざまな部分集合Mを作れるが…

そのどのMからも
「Mが #生成系 となる群」をつくれて
その群は必ずGの #部分群 になる.

Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 60

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, …, a_m }
の #べき積 の全体がなす集合は
Gの #部分群 である事を示せ.

A.
Mのべき積の全体という集合が
群をなす事は証明済み.
ここでMはGの部分集合だから
MはGの部分群となり
M≤G が言える.

#巡回群とは 56

#群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について
https://mathlandscape.com/grou...

呼び名が長い.
群の #部分集合が生成する部分群
群の #部分集合が生成系となる部分群

#べき積 を作る際，
部分集合から元を取り出す操作において
重複があってもよい
というのがポイント.

#巡回群とは 55

①
#群 Gの1元aが #生成 する
Gの #巡回部分群 ‹a›

②
群Gの部分集合Mが生成する
Gの #部分群 ‹M› は，
・「Mが生成するGの部分群」
・「Mが #生成系 となるGの部分群」
↑
②に名前を付けると…
#部分集合が生成する部分群
#部分集合が生成系となる部分群
長っ！

#巡回群とは 54

#群 Gの部分集合Mから #生成 される
Gの #部分群
(すなわち
Gの複数元の #べき積 を要素に持つ
Gの部分群)
を ‹M› と書き
①「Mが生成するGの部分群」
②「Mが #生成系 となるGの部分群」
と呼ぶ.
↑
①や②を
1つの用語で言い表す方法がない.
(巡回群みたいな名前が無い)

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 52

群の #生成系(生成集合)
generating set of a group
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・部分集合Sで，
#生成 される #部分群 のすべての元が
Sの有限個の元と
それらの #逆元 の結合として表現できるもの.

・S 内にただ1つの元 x しかなければ，
‹S› を ‹x› と書く.

#巡回群とは 51

Q.
#群論 において #生成系 とは.

A.
#群 G のある部分集合
M ＝ { a_1, a_2, …, a_m }
がある時，
M の元の #べき積 の形で書ける全ての元からなる
G の #部分群 を
H ＝ ‹M› と書き，
「H の生成系は M である」という.