#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 9

Q.
#代数学 において
#マグマ とは.

A.
ある集合Mにおいて
「#閉じている 二項演算」(#内算法)
が定義されていれば，
Mをマグマと呼ぶ.
(※ #ブルバキ が導入した呼び名)

その #二項演算 は
#結合法則 を満たす必要はなく，
#単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#代数系の初歩 8

#二項演算 (binary operation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・数の四則演算(加減乗除)などの
「2つの数から新たな数を決定する規則」
を一般化した概念.

・二項算法，結合などとも呼ぶ.

・単に「積」とか「乗法」と呼ぶこともある.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p22より:
『「#元 の特殊な
#具体性 に関わりなく
#群 が #定義 される事」を
#ケイリー が示したのは
#1854年 以後の事.
群の本質的 #構造 は
ケイリーが示したように，もっぱら
元の対に対する #二項演算 を
規定する手段に依存.』

#代数系の初歩 7

Q.
#二項演算 の場合，
#内算法 を何と呼ぶか.

A.
ある二項演算がGの内算法であれば
その二項演算を
Gの「内部二項演算」
「二項内算法」のように呼ぶ.

要は，集合内で #閉じている 二項演算を指す.

演算結果が集合の外側にはみ出てしまったら
内算法とは呼べない.

#代数系の初歩 5

Q.
ある #代数的構造 G が
ある #二項演算 について
#閉じている とはどういう意味か

A.
G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって
二項演算を実行した際
演算の結果である xy も必ずGに属している
ということ.

要は，演算の結果が
集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 4

Q.
#代数学 において
#二項演算 とは何か.

A.
ある集合 G の
2つの元 x, y を引数にとって，
新たな1つの元 z を生み出す操作のこと.

#群 の2元に関する演算 xy
#加法群 の2元に関する演算 x＋y
などは二項演算である.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

#群論の初歩 73

Q.
O(n)上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#直交行列 の積が
直交行列であることを示す.

直交行列A,Bについて
#転置 の性質より
(AB)^t ＝ B^t A^t

(AB)(AB)^t
=A(B B^t) A^t
=A E A^t
=A A^t
=E
同様に
(AB)^t (AB)＝E

∴ABは直交行列

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#群論の初歩 68

Q.
ℤ 整数全体の集合
ℚ 有理数全体の集合
ℝ 実数全体の集合
ℂ 複素数全体の集合

この4つの集合について
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
これら4つはいずれも #アーベル群 となる.

部分群の関係を G≥H のように表記すると
ℤ≤ℚ≤ℝ≤ℂ

#群論の知識

#群 の #直積 (direct product of groups)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

群 A, B に対し
集合としての直積
A×B を考え，
その2元
x＝(a_1, b_1)
y＝(a_2, b_2)
x, y ∈ A×B
に対し
積を
xy＝(a_1 a_2, b_1 b_2)
のように成分ごとの #二項演算 として定義すると
A×B は群となる.

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 を持つ
Gの部分集合Hが
1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H
2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H
ならば
Hに #単位元 が存在する事を示せ

A.
Hの元は全てGの元なので
aa^{-1} はGの単位元eであり
(1)より aa^{-1}＝e はHの元.
GとHで二項演算が同じなので
eはHの単位元.

#群論の初歩 60

Q.
#群 G の部分集合 H が
Gの #部分群 となるために
H が満たすべき2条件

A.
(1) H の任意の2元 a, b に対し
ab は H の元.
(Gと同じ #二項演算 が
部分群の内部で #閉じている)

(2) H の任意の元 a に対し
その逆元a^{-1}は H の元.
(部分群の内部で
#逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 59

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

素数全体
ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℙの2元 a, b に対し
a＋b ∈ℙは常に成立せず
二項演算が閉じていないので
ℙは #群 ではない.
よってℙはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57

Q.
整数全体の集合
ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

偶数全体の集合
2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … }

と表記するとき
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
ℤも 2ℤ も各々 #群 である.

2ℤ はℤの部分集合だから，
2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56

Q.
#部分群 とは何か説明

A.
#群 G の部分集合Hをとり，
Gの #二項演算 によって
Hが群になるとき，
HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ.

もとの集合の
「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」
というわけ.

この時，GとHで
単位元や逆元は共通となる.

#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.