#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 41

f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T){
∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm･s/T)ds
･
e^(j2πm･t/T)
}

ここで
g(m/T)=
∫{－T/2→T/2}f(s)exp(－j2πs･m/T)ds
･
e^(j2πt･m/T)
とおけば…

lim{T→∞}f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T)g(m/T)
#区分求積法 の形に！

#アナログ信号の解析法 40

#複素フーリエ級数展開 の式…
f(t)
=
Σ{m=-∞→＋∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
Σの中身はm/Tを引数に取る関数で
全体に係数1/Tが付く.

という事はつまり
T→∞の極限をとれば
#区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 39

積分範囲が無限大の #区分求積法

∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{⊿ω→0}Σ{k=-∞→∞} (⊿ω) f(ω_k)
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞} (1/n) f(k/n)

※ω_k=k/L
⊿ω=ω_k－ω_{k-1}=1/L
L→∞

共立出版「フーリエ解析入門」(谷川2007)p45に
#リーマン和 として載っている.

#アナログ信号の解析法 38

①
∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

②
aは整数
∫{-a→a}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-na+1→na}(1/n)f(k/n)

③
②でa→∞の #極限 をとると
∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞}(1/n)f(k/n)
これが，積分範囲が無限大の #区分求積法.

#アナログ信号の解析法 37

∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n} (1/n)f(k/n)

#区分求積法 の積分範囲を
[a, b] (a, b は整数)としてみると…
∫{a→b}f(x)dx
＝
lim{n→∞}Σ{k=na＋1 → nb} (1/n)f(k/n)
↑
f(a･n / n)=f(a)から
f(b･n / n)=f(b)までの
縦長の長方形の短冊の総和。

#アナログ信号の解析法 36

#区分求積法:

x軸上で0から1の範囲をn等分.
x座標は
1/n, 1/2, …, k/n, …, n/n

これらの点での関数f(x)の値は
f(1/n), f(1/2), …, f(k/n), …, f(n/n)

縦長の長方形を考え
底辺の長さ=1/n
高さ=f(k/n)
∴
∫{0→1}f(x)dx＝lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

#アナログ信号の解析法 35

#高校数学 の #区分求積法 の公式については
下記URLを見るとよい.
https://juken-mikata.net/how-t...

※Wikipediaには「区分求積法」の項目は無い.
かわりに #リーマン積分 などのページがあるが…
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 53
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･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 41

f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T){
∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm･s/T)ds
･
e^(j2πm･t/T)
}

ここで
g(m/T)=
∫{－T/2→T/2}f(s)exp(－j2πs･m/T)ds
･
e^(j2πt･m/T)
とおけば…

lim{T→∞}f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T)g(m/T)
#区分求積法 の形に！

#アナログ信号の解析法 40

#複素フーリエ級数展開 の式…
f(t)
=
Σ{m=-∞→＋∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
Σの中身はm/Tを引数に取る関数で
全体に係数1/Tが付く.

という事はつまり
T→∞の極限をとれば
#区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 39

積分範囲が無限大の #区分求積法

∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{⊿ω→0}Σ{k=-∞→∞} (⊿ω) f(ω_k)
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞} (1/n) f(k/n)

※ω_k=k/L
⊿ω=ω_k－ω_{k-1}=1/L
L→∞

共立出版「フーリエ解析入門」(谷川2007)p45に
#リーマン和 として載っている.

#アナログ信号の解析法 38

①
∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

②
aは整数
∫{-a→a}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-na+1→na}(1/n)f(k/n)

③
②でa→∞の #極限 をとると
∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞}(1/n)f(k/n)
これが，積分範囲が無限大の #区分求積法.

#アナログ信号の解析法 37

∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n} (1/n)f(k/n)

#区分求積法 の積分範囲を
[a, b] (a, b は整数)としてみると…
∫{a→b}f(x)dx
＝
lim{n→∞}Σ{k=na＋1 → nb} (1/n)f(k/n)
↑
f(a･n / n)=f(a)から
f(b･n / n)=f(b)までの
縦長の長方形の短冊の総和。

#アナログ信号の解析法 36

#区分求積法:

x軸上で0から1の範囲をn等分.
x座標は
1/n, 1/2, …, k/n, …, n/n

これらの点での関数f(x)の値は
f(1/n), f(1/2), …, f(k/n), …, f(n/n)

縦長の長方形を考え
底辺の長さ=1/n
高さ=f(k/n)
∴
∫{0→1}f(x)dx＝lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

#アナログ信号の解析法 35

#高校数学 の #区分求積法 の公式については
下記URLを見るとよい.
https://juken-mikata.net/how-t...

※Wikipediaには「区分求積法」の項目は無い.
かわりに #リーマン積分 などのページがあるが…
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
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↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
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