#巡回群とは 56

#群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について
https://mathlandscape.com/grou...

呼び名が長い.
群の #部分集合が生成する部分群
群の #部分集合が生成系となる部分群

#べき積 を作る際，
部分集合から元を取り出す操作において
重複があってもよい
というのがポイント.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p61より:
『#頂点 が #元 に #対応 し，
#線分 が群 #生成元 や
その #逆元 を乗ずることに
対応するような，
#有向線分 の網組織(#グラフ)
による #群 の表示は
#19世紀 の #数学者
#ケイリー により考案され
#ケイリー図型 という.』

#巡回群とは 55

①
#群 Gの1元aが #生成 する
Gの #巡回部分群 ‹a›

②
群Gの部分集合Mが生成する
Gの #部分群 ‹M› は，
・「Mが生成するGの部分群」
・「Mが #生成系 となるGの部分群」
↑
②に名前を付けると…
#部分集合が生成する部分群
#部分集合が生成系となる部分群
長っ！

#巡回群とは 54

#群 Gの部分集合Mから #生成 される
Gの #部分群
(すなわち
Gの複数元の #べき積 を要素に持つ
Gの部分群)
を ‹M› と書き
①「Mが生成するGの部分群」
②「Mが #生成系 となるGの部分群」
と呼ぶ.
↑
①や②を
1つの用語で言い表す方法がない.
(巡回群みたいな名前が無い)

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.

＜#代数学の参考書＞

日評数学選書
「リー群の話」
(日本評論社1982佐武)

前書きより引用:
『#リー群 の中で，
#理論的 にも
#応用上 も
#最も大切 な
#マトリックス の
#群 だけに限って
#説明 するならば，
#大学初年級 の #知識
(#線形代数 や #微積分)で
十分 #間に合う と思われる。』

#巡回群とは 51

Q.
#群論 において #生成系 とは.

A.
#群 G のある部分集合
M ＝ { a_1, a_2, …, a_m }
がある時，
M の元の #べき積 の形で書ける全ての元からなる
G の #部分群 を
H ＝ ‹M› と書き，
「H の生成系は M である」という.

#巡回群とは 50

Q.
#群 Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
がある時，
Mの元の #べき積 とは

A.
z＝(a_{x_1})^{n_1}･(a_{x_2})^{n_2}･…･(a_{x_r})^{n_r}
x_1, x_2, …, x_r ∈ { 1, 2, …, r } (※重複可)
n_1, n_2, …, n_r ∈ℤ(※0や負の指数も可)
の形で書けるGの元 z のこと.

#巡回群とは 49

Q.
ここまでで
#群 Gの「1つの元」aから #生成 される
#巡回群 ‹a› を考えてきた.

では
群Gの「複数の元」から生成されるのは?

A.
群Gの部分集合
M＝{ a_1, a_2, …, a_m }
に対し，
これらの要素の #べき を
組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 47

前ツイの解説:

#群 G内に
#単位元 eではない元aがあれば，
その元a(≠e)を使って
必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる.
これはGの部分群であり，
e, a ∈ ‹a› より
‹a› の位数は2以上.

つまり
Gの #位数 が2以上なら，
Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

解析er
「#懐石 料理！」

代数er
「#抽象代数学 の大・中・小の部分」

群論er
「#群 の『君，ヒツジ』の部分」

連続群論er
「#ポントリャーギン のおんどりゃーの部分」

表現論er
「#指標表 のうひょうひょの部分」

関西人の環論er
「#ネーター環 は #寝たアカン！」　#寝たあかん！

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数　原著第2版」
(ジョージァイ2010)
http://www.yoshiokasyoten.saku...

『著者
H. #ジョージァイ は，
S. #グラショウ
(#1979年 に #ノーベル賞)
と共に，
SU(5) #群 に基づく
#素粒子相互作用 の
#大統一理論 を
#初めて 構築した
#著名 な #研究者.』

#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
84

（番外編）#群論：#位数 3p^n の #群 の #可解性
https://www.youtube.com/watch?...

#可解
#代数 #代数学

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)
https://books.rakuten.co.jp/rb...

前書きより引用:
『#群 が
ある #数学的対象 に働くと，
やがてそこから
群の働きに対して
#不変 であるような，
ある種の #対称性 をもつ
#幾何学的 な #形 や
#数学 の #形式 が
浮かび上がってくる。』

#巡回群とは 40

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnの時
a^m(m∈ℕ)の位数は?

A.
mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d
M,Nは互いに素な自然数で
m=Md
n=Ndの時
a^n=a^(Nd)=e
ここで
a^m=a^(Md)をN乗すれば
{ a^(Md) }^N
=a^(MdN)
={a^(Nd)}^M
=e
より
|a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n).
※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39

Q.
#群 G の元 a の #位数 が n で
m は n の約数とする.
このとき n/m ＝ d は整数である.
a^d の位数は?

A.
「その元を何乗すると #単位元 になるか」
という最小の値が位数である点に注意.

a^n＝e のとき
{ a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので
∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#代数学の知識

#ホップ代数 (Hopf algebra)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#代数トポロジー の研究から生まれた概念.
ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称.

積の双対概念として #余積 などの構造をもつ.
#群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる.

ホップ代数の重要な例が #量子群.