#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#フーリエ変換の具体的な計算 24

δ_T (t)の
#複素フーリエ級数展開 の展開係数
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T)
} dt

区間{-T/2→T/2}で #積分 すると
Σの総和の中で
k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので
c_n
=
(1/T){
e^(-j2πn･0/T)
}
=
1/T

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
6 / 14

#線積分（#ベクトル場）と #内積 と #重力 の #仕事
https://www.youtube.com/watch?...
10:59

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」
(共立出版2000Audin)
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac....

序文より:
『Liouvilleは，
HamiltonやJacobiの
新しい #力学 の枠組みに基づいて，
これら(#解ける＝#積分 できる)
#力学系 の本質が
「多数の #保存量 の存在」
にある事を見抜いた.』

#フーリエ変換の具体的な計算 9

t の #指数関数 の #積分 公式:
∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at)

#複素正弦波 e^(－jωt) を
t で積分すると
その指数部分の t の係数 －jω が
分母に落ちてくる.

その結果，
複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ
ωの #sinc関数 が生まれる.

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」(共立出版2000)

序文より:
『「#解ける=#積分 できる」#力学系 は
例えば
･#Kepler運動
･#三角関数 で解ける #調和振動子
･#楕円函数 で解ける #単振り子
･Jacobiがその力学研究の中で扱った楕円体面上の測地運動
･各種の #コマ』

#フーリエ変換の性質や諸公式 42

▶#微分 の #フーリエ変換 は，
フーリエ変換に jω をかけたもの.

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω ℱ[ f(t) ]

▶#積分 のフーリエ変換は，
フーリエ変換を jω で割ったもの.

ℱ[ ∫{－∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1 / jω) ℱ[ f(t) ]

↑
対称な関係ですよね.

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
5 / 14

#線積分（#スカラー場）
https://www.youtube.com/watch?...
7:30

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 37

jω ℱ[ f(t) ]
=
jω F(jω)
=
ℱ[ (d/dt) f(t) ]

「#周波数領域 でjωをかける操作は
#時間領域 の #微分 操作と同じ」

では，jωでなく
(1/jω)をかけると…？

微分の逆で
#積分 になる！

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 22

ℱ_t
t軸上の #積分

ℱ_ω
ω軸上の積分

#フーリエ変換 の重ねがけの公式
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)
を使うと…

信号の #積 f(t)･g(t) を
2回フーリエ変換したら，
ℱ_ω[ ℱ_t[ f(t)･g(t) ] ]
=
2π f(－t)･g(－t)
という形になる.

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」(2000Audin)

序文より:
『#微分方程式 を #解く 事を
#伝統的 な #用語 では
「#積分 する」という.
#可積分系(#積分可能系)は
#19世紀 半ばに J. Liouville が
初めて #明確 な #定義 を与えて以来
様々な #変遷 の #歴史 を経て…』

#フーリエ変換の性質や諸公式 19

前ツイ続き
ℱ[(f*g)(t)]
=
∫{-∞→∞}dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞}dt g(t－τ) e^(－jω{t－τ})
}
内側の #積分 でt－τをtと置換し
=
∫{-∞→∞} dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞} dt g(t) e^(－jωt)
}
=
ℱ[ f(t) ]･{
ℱ[ g(t) ]
} //

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 8

f(t)
=
(1/2π)∫{-∞→∞}{
∫{-∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds
･
e^(jωt)
}dω
=
(1/2π)∫{-∞→∞} F(ω) e^(jωt) dω

両辺を2π倍し
tに－tを代入すると
2π f(－t)
=
∫{-∞→∞} F(ω) e^(－jtω) dω
=
ℱ[ F(ω) ]
※このℱはω領域での #積分.

＜#素粒子と原子核の参考書＞

「弦とブレーン」 (朝倉書店2017細道)
https://honto.jp/netstore/pd-b...

p47より引用:
『#対称性 で互いに移り合う
#計量 の #同値類(#ゲージ軌道)
各々につき #代表元 を1つ選び，
代表元についてのみの
#積分 に留める。
この操作は #ゲージ固定 と呼ばれる。』

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 18

③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt

n≠mの時，
③は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になるので
1周期 #積分 すると0

n＝mの時も同様。
cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で
1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt

n≠mの時
①②の中身は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になり
1周期 #積分 すると0

n=mの時
①の中身=(1+cos 2nt)/2
②の中身=(1-cos 2nt)/2
いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.