＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」(共立出版2000)

序文より
『Liouvilleが見抜いた
#力学系 の #保存量
という概念に基づき
その後も様々な
#可積分系 が見いだされたが，
中でも特に有名な物が
本書のヒロインでもある
Sofa Kovalevskayaの発見した
#コマ であろう.』

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」
(共立出版2000Audin)
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac....

序文より:
『Liouvilleは，
HamiltonやJacobiの
新しい #力学 の枠組みに基づいて，
これら(#解ける＝#積分 できる)
#力学系 の本質が
「多数の #保存量 の存在」
にある事を見抜いた.』

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」
(共立出版2000Audin)

序文より:
『#可積分系 は
20世紀最後の20年余りの間に
#数学 とその関連諸科学において
きわめて重要な位置を
占めるに至った概念である。
#Liouville の可積分系の概念の鍵は
「#保存量(#第一積分)」にある。』

#解析力学_保存量と対称性編 15

Q.
#包合系 とは

A.
involution system
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
自由度nの #ハミルトン力学系 に
n個の独立な #第一積分(#保存量)
F_1, ..., F_n が存在し
それらの #ポアソン括弧 が #可換
{ F_i, F_j }＝0
である時
これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 14

Q.
物理学において
#対称性 と #保存量 は
中心的な重要概念であるが，
「保存量」を
「保存料」と変換ミスした場合
何が起こるか

A.
食品添加物の意味になってしまう.

保存料
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
＞食品中にいる細菌の増殖を抑制し，変質・腐敗を防ぐ。

#解析力学_保存量と対称性編 13

Q.
#ハミルトン力学 において，
#ネーターの定理 に基づき
系の #保存量 をどのように表現できるか

A.
下記URLの導出を参照.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ハミルトニアン H との #ポアソン括弧
{ H, G_δ }
を使って，
保存量 G_δ を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 12

Q.
#ラグランジュ力学 において，
#ネーターの定理 に基づき
系の #保存量 をどのように表現できるか

A.
下記URLの導出を参照.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L
#対称性 のパラメータ T, Q
を使って，
保存量 X_r を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 10

Q.
#解析力学 における
#ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ

A.
Noether's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

系に連続的な #対称性 がある場合
その対称性に対応する #保存則 が存在する.
つまり，必ず
何らかの物理量が
時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 6

Q.
#循環座標 は常に存在し
#保存量(#第一積分)を導出することが常に可能?

A.
座標系の取り方に依存するので
循環座標は常に存在するとは限らない.

しかし #時空 の #対称性 により
①#エネルギー
②#運動量
③#角運動量
の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 4

Q.
#循環座標 q_c が存在する時
#保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか

A.
n自由度で
#ラグランジュ方程式
∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i)
をn個立式する際
c番目の式は
左辺∂L/∂q_c = 0より
右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で
∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(講談社2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 においては
ある #運動の定数
(#運動の積分，#保存量，#第一積分)
が存在する場合，
#一般化座標 q と
#一般化運動量 p の
ある組み合わせが
時間的に一定な
#定数 となる事を意味する.』

#解析力学_保存量と対称性編 2

Q.
#循環座標 とは.

A.
循環座標 (cyclic coordinates)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L が
関数として陽に依存しない
一般座標変数 q_i のこと.

もし循環座標が存在する場合，
それに対応する共役運動量 p_i は
系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1

Q.
「#運動の積分」とは

A.
integral of motion
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#古典力学 において
系の時間発展に際し
時間変化しない物理量のことを指す.

別名:
・ #保存量 (conserved quantity)
・ #第一積分 (first integral)
・運動の定数 (constant of motion)