#アナログ信号の解析法 18

③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt

n≠mの時，
③は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になるので
1周期 #積分 すると0

n＝mの時も同様。
cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で
1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt

n≠mの時
①②の中身は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になり
1周期 #積分 すると0

n=mの時
①の中身=(1+cos 2nt)/2
②の中身=(1-cos 2nt)/2
いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10

#フーリエ級数展開:
cos(2πn・s/T)に
cos(2πm・s/T)をかけると…

▶cos cos や cos sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶cos^2 の項だけは
cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#信号処理の数学の準備 10
↑
このタグの復習…

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9

#積和の公式 は
#三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し
#次数 を下げるので
#積分 可能になり便利.

しかし #和積の公式 は逆で，
三角関数の1次式を2次式に直し
次数をわざわざ上げるので
積分できなくなる！
だから和積は
#フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8

#フーリエ解析 の出だしで…

実は #積和の公式 を覚える必要はない！

「積和の公式を使えば
#三角関数 の #2次式 を
三角関数の #1次式 に変形できる」
という事実さえ知っていればよい。

なぜなら
「三角関数の1次式」は
1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 6

#オイラーの公式 から
#積和の公式 を導出するには
cosα cosβ
=({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2)
=(1/4){
e^j(α+β)+
e^j(α-β)+
e^j(-α+β)+
e^j(-α-β)
}
cos,sinの表記に直し
cos(-θ)=cosθ
sin(-θ)=-sinθ
で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 1
↑
このタグでは下記の事を考えます。

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

#アナログ信号の解析法 18

③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt

n≠mの時，
③は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になるので
1周期 #積分 すると0

n＝mの時も同様。
cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で
1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt

n≠mの時
①②の中身は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になり
1周期 #積分 すると0

n=mの時
①の中身=(1+cos 2nt)/2
②の中身=(1-cos 2nt)/2
いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10

#フーリエ級数展開:
cos(2πn・s/T)に
cos(2πm・s/T)をかけると…

▶cos cos や cos sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶cos^2 の項だけは
cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#信号処理の数学の準備 10
↑
このタグの復習…

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9

#積和の公式 は
#三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し
#次数 を下げるので
#積分 可能になり便利.

しかし #和積の公式 は逆で，
三角関数の1次式を2次式に直し
次数をわざわざ上げるので
積分できなくなる！
だから和積は
#フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8

#フーリエ解析 の出だしで…

実は #積和の公式 を覚える必要はない！

「積和の公式を使えば
#三角関数 の #2次式 を
三角関数の #1次式 に変形できる」
という事実さえ知っていればよい。

なぜなら
「三角関数の1次式」は
1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 6

#オイラーの公式 から
#積和の公式 を導出するには
cosα cosβ
=({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2)
=(1/4){
e^j(α+β)+
e^j(α-β)+
e^j(-α+β)+
e^j(-α-β)
}
cos,sinの表記に直し
cos(-θ)=cosθ
sin(-θ)=-sinθ
で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 1
↑
このタグでは下記の事を考えます。

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。