#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 32

#部分積分
∫u v' dx
=
[uv]_{a→b}－∫u' v dx
を使えば…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
=
[ f(t) e^{－jωt} ]_{-∞→∞} ①
－
(－jω)∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt ②
↑
この第1項①は0とおける。なぜ？

#フーリエ変換の性質や諸公式 31

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
を証明するには…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
↑
#部分積分 を使えば
f(t)にかかる(d/dt)を消せる！

※部分積分の公式
(uv)'＝u' v＋u v'
↓
∫u v' dx＝[uv]_{a→b}－∫u' v dx

#フーリエ変換の性質や諸公式 39

g(t)＝∫{-∞→t}f(τ)dτ
の時
(d/dt)g(t)＝f(t)

#部分積分 の公式
∫u v' dx＝[uv]_{a→b}－∫u' v dx

ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t)e^(-jωt) dt
=
[ g(t) {(-1/jω)e^(-jωt)} ]_{-∞→∞}
－
∫{-∞→∞} { (d/dt)g(t) }{(-1/jω)e^(-jωt)} dt

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 32

#部分積分
∫u v' dx
=
[uv]_{a→b}－∫u' v dx
を使えば…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
=
[ f(t) e^{－jωt} ]_{-∞→∞} ①
－
(－jω)∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt ②
↑
この第1項①は0とおける。なぜ？

#フーリエ変換の性質や諸公式 31

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
を証明するには…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
↑
#部分積分 を使えば
f(t)にかかる(d/dt)を消せる！

※部分積分の公式
(uv)'＝u' v＋u v'
↓
∫u v' dx＝[uv]_{a→b}－∫u' v dx