#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 48

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O}
は，
#行列 の和演算について #群 か?

A.
演算の #単位元 が存在しないので
群ではない.

#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 39

Q.
#加法群 とは.

A.
「#アーベル群 の演算を
加法(＋)の形で表記したもの」を
一般に加法群と呼ぶ.

加法群の #単位元 を
#零元 と呼び，
通常は 0 と書く.

加法群の元 a の #逆元 を -a と書く.
a＋(-b) を a-b と書く.

※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 28

Q.
T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ }
S＝T－{0}
Sが積演算について #群 をなすことを示せ.

A.
Sの2元の積は
(a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S
より
#二項演算 が #閉じている.
#結合法則 も満たす.
#単位元 は1.
a+b√3の #逆元 は
1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27

Q.
1次元トーラスから
#群 を構成せよ.

A.
1次元トーラスとは
複素数全体ℂに対し
T＝{z∈ℂ | |z|＝1}
を指す.

Tの元は
乗法について閉じており
#結合法則 を満たす.

#単位元 は z＝1.

元 z＝e^(iθ) の
#逆元 は z'＝e^(-iθ).

よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 24

Q.
#単位群 とは.

A.
ただ1つの元として
#単位元 e を持つような集合
{ e }
は，
#位数 が 1 の #有限群 であり
単位群と呼ぶ.

例:
・ #二項演算 として実数の積
・単位元として実数 1
を考えれば
{ 1 } という集合は単位群である.

#群論の初歩 20

Q.
#群 の3公理を
同値なまま簡潔化せよ

A.
#単位元 の存在は
#右単位元 の存在に置き換えられる:
任意の元 a に対し
ae＝a なる右単位元 e が存在.

#逆元 の存在は
#右逆元 の存在に置き換えられる:
各元 a に対し
a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.

#群論の初歩 18

Q.
群 G のある2つの元 x, y について，
xy が #単位元 に等しければ
x ＝ y^{-1} かつ
y ＝ x^{-1} として
相互に #逆元 の関係が成り立つ事を示せ.

A.
xy ＝ e
両辺に左から x^{-1} をかけ
(x^{-1} x) y ＝ x^{-1} e
ey ＝ x^{-1}
y ＝ x^{-1}
y^{-1} も同様.

#群論の初歩 17

Q.
群 G の
ある1つの元 a について，
aa ＝ a ならば
a は #単位元 である事を示せ.

A.
aa ＝ a
両辺に右から a^{-1} をかけ
aa(a^{-1}) ＝ a(a^{-1})
a(aa^{-1}) ＝ (aa^{-1})
ae ＝ e
a ＝ e

#群論の初歩 16

Q.
#群 G に対して
(1) #単位元 の存在
(2) #逆元 の存在
それぞれ論理記号で表記してみよう.

A.
(1)
∃e∈G s.t. (∀g∈G，ge＝eg＝g)
(2)
∀g∈G，∃h∈G s.t. hg＝gh＝e

↑
∀(すべての)と
∃(そんざい)の記号を置く場所が
(1)と(2)で異なる点に注意.

#群論の初歩 15

Q.
#群 の公理で

(1) #単位元 の存在:
群Gの任意の元xに対し
xe＝ex＝x なる e が存在

(2) #逆元 の存在:
群Gの各元xに対し
xx'＝x'x＝e なる x' が存在

↑
微妙に言葉遣いが違うのはなぜ?

A.
単位元eは任意の要素に対しG内に1つだが
逆元は各要素に対し1つずつ存在

#群論の知識

Q.
#群論 で現れる #核(kernel)とは

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
核は，準同型の #単射 からのずれの度合いを測る道具.

G, Hを群とし
G, Hの #単位元 を各々 e_G, e_H とする.

#群準同型 f: G → H に対し
Ker f ＝ { g ∈ G | f(g) ＝ e_H }
を #写像 f の核という.

#群論の初歩 13

Q.
群において，
#逆元 の一意性を示せ.

A.
a の逆元が2つあり x と x' だとする.
逆元の定義より
e ＝ ax'　かつ
e ＝ xa

ここで
x
＝xe
＝x(ax')
＝(xa)x'
＝ex'
＝x'

よって逆元は各々ただ一つ.

※逆元の定義に #単位元 が出てくるところがポイント.

#群論の初歩 11

①日本語で「アイデンティティ」:
【自分自身】
自我の本質的なありかた

②群論で
「アイデンティティ」
(#単位元，identity element)を使うと
ae＝a
つまり【自分自身】に返ってくる.

①②は
「自分を指すポインタ」みたいな意味で
両方ともアイデンティティなんですなあ.

#群論の初歩 10

#単位元(identity element)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象代数学における単位元は
#二項演算 を備えた集合の特別な元.

・ほかのどの元も，
その二項演算による
単位元との結合の影響を受けない.

・中立元(neutral element)とも呼ぶ.