#群論の初歩 51

Q.
GL(n,V) 上で
行列の積という #二項演算 が
#閉じている ことを示せ

A.
#正則行列 A, Bの積 AB＝M が
#正則 である事を示す.

Mに左から
M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると
M'M＝E
Mに右から M' をかけると
MM'＝E

∴E＝M'M＝MM' で
M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 41

#加法群 (英 additive group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ 群演算を，ある意味で
加法と考えることのできる #群.

・通常は #アーベル群.

・ #二項演算 を
記号 + を使って書くのが一般的.

※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 33

Q.
2つのベクトルに対する
#二項演算 として
#内積 および #外積 を考える時，
各々 #交換法則 を満たすか?

A.
内積の場合，
↑A・↑B
=
↑B・↑A
より交換法則が成り立つ.

外積の場合，
#歪対称性(反交換則)より
↑A×↑B
=
－↑B×↑A
となるので交換法則は成り立たない.

#群論の初歩 32

Q.
#交換法則 を満たさないが
#結合法則 を満たすような
#二項演算 の例として
行列の積がある.

では逆に
交換法則を満たすが
結合法則を満たさない二項演算の例は?

A.
二項演算を a⊕b ＝ |a－b| と定めれば
|a－b| ＝ |b－a| かつ
一般に||a－b|－c| ≠ |a－|b－c||

#群論の初歩 31

Q.
下記の #二項演算 は
#交換法則 と
#結合法則 を満たすか?

(1)実数の乗法
(2)実数の減法
(3)実数のべき乗
(4)#行列 の積

A.
(1) 交換法則も結合法則も満たす
(2)(3) 交換法則も結合法則も満たさない
(4) 交換法則を満たさないが結合法則を満たす

#群論の初歩 29

Q.
#二項演算 の #交換法則 とは

A.
集合Gの任意の2元a, bについて
ab ＝ ba
が成り立つ時，
交換法則を満たすという.

2元が交換可能という事は
帰納的に，任意のn元も
順序を交換可能.

掛け算や足し算のように
演算の順序を入れ替えても
結果は変わらないということ.

#群論の初歩 28

Q.
T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ }
S＝T－{0}
Sが積演算について #群 をなすことを示せ.

A.
Sの2元の積は
(a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S
より
#二項演算 が #閉じている.
#結合法則 も満たす.
#単位元 は1.
a+b√3の #逆元 は
1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 24

Q.
#単位群 とは.

A.
ただ1つの元として
#単位元 e を持つような集合
{ e }
は，
#位数 が 1 の #有限群 であり
単位群と呼ぶ.

例:
・ #二項演算 として実数の積
・単位元として実数 1
を考えれば
{ 1 } という集合は単位群である.

#群論の初歩 10

#単位元(identity element)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象代数学における単位元は
#二項演算 を備えた集合の特別な元.

・ほかのどの元も，
その二項演算による
単位元との結合の影響を受けない.

・中立元(neutral element)とも呼ぶ.

#群論の初歩 7

Q.
実数のべき乗操作が
#結合法則 を満たさない事を示せ.

A.
#二項演算 a⊕b ＝ a^b と定義すると
(a⊕b)⊕c＝(a^b)^c …①
a⊕(b⊕c)＝a^(b^c) …②
一般に①≠②より，
結合法則が成り立たない.

例:
(2^3)^4＝8^4＝2^12
2^(3^4)＝2^81
より値が異なる.

#群論の初歩 6

Q.
実数の減法(引き算)の操作が
#結合法則 を満たさない事を示せ.

A.
#二項演算 a⊕b＝a－b と定義すると
(a⊕b)⊕c＝(a－b)－c＝a－b－c …①
a⊕(b⊕c)＝a－(b－c)＝a－b＋c …②
c≠0のとき①≠②となり
(a⊕b)⊕c ≠ a⊕(b⊕c) で
一般に結合法則が成り立たない.

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の知識

(#群論 で) #自由積 (free product)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

2つの #群 G, H から
新しい群 G∗H を構成する操作.

自由積 G∗H は
G と H をともに #部分群 として含む.

自由積において
元は G, H の縮約された #語.
#二項演算 は，語を連結して縮約すること.

#体論の初歩 1

Q.
#群，#環，#体 の3つのうち
「#対称性」を考える上で
最も有用なのはどれか

A.
環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で
「#逆元 が存在しない場合」という例外あり.

一方，群はシンプルで
1種類の二項演算のみを扱い
どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.