#群論の初歩 64

Q.
#真部分群 とは

A.
#自明な部分群 を除いた #部分群 を
真部分群(proper subgroup)と呼ぶ.

#群 Gの部分群としては
Gそのものと{e}を含むが，
群Gの真部分群には
Gそのものを含まない.

※ {e}は，定義によって
群Gの真部分群に含めない場合も
含める場合もある.

#群論の初歩 63

Q.
#自明な部分群 とは

A.
#群 Gの部分集合のうち
下記の２つを
Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ.

(1)
群Gそのもの

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

＜#代数学の参考書＞

「群論への30講」(朝倉書店1989志賀)

前書きより:
『#群 とはどのようなものかを
まず知りたい人たちにとって
#可解群 や #ベキ零群 の事など
それほど関心のあるテーマでは
ないだろう.』

※個人的な感想:
興味の発端がガロア理論な人は
#可解 の概念を知りたいかも.

#群論の初歩 61

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 を持つ
Gの部分集合Hが
1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H
2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H
ならば
Hに #単位元 が存在する事を示せ

A.
Hの元は全てGの元なので
aa^{-1} はGの単位元eであり
(1)より aa^{-1}＝e はHの元.
GとHで二項演算が同じなので
eはHの単位元.

#群論の初歩 60

Q.
#群 G の部分集合 H が
Gの #部分群 となるために
H が満たすべき2条件

A.
(1) H の任意の2元 a, b に対し
ab は H の元.
(Gと同じ #二項演算 が
部分群の内部で #閉じている)

(2) H の任意の元 a に対し
その逆元a^{-1}は H の元.
(部分群の内部で
#逆元 の存在を保証)

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970)

p21より:
『#群 の #公理的 定義は
1人の数学者から
生まれたのではない.
群の基礎となる
形式的 #公理 が
はっきり述べられたのは
ほぼ #1世紀 にわたる
#群論 研究のあと.
#最初 の重要な定理は
#1771年 に #ラグランジュ が
述べて証明した.』

#群論の初歩 59

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

素数全体
ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℙの2元 a, b に対し
a＋b ∈ℙは常に成立せず
二項演算が閉じていないので
ℙは #群 ではない.
よってℙはℤの部分群ではない.

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数　原著第2版」
(ジョージァイ2010)

p1「なぜ群論か」より
『#群論 は
#対称性 の #学問 であり
途方もなく
#労力を軽減 してくれる道具.
#物理学者 が対称性から
#情報 を #抽出 しようと
する際に使うのは
#群 そのものではなく
#群の表現.』

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57

Q.
整数全体の集合
ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

偶数全体の集合
2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … }

と表記するとき
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
ℤも 2ℤ も各々 #群 である.

2ℤ はℤの部分集合だから，
2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56

Q.
#部分群 とは何か説明

A.
#群 G の部分集合Hをとり，
Gの #二項演算 によって
Hが群になるとき，
HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ.

もとの集合の
「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」
というわけ.

この時，GとHで
単位元や逆元は共通となる.

#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
37

#群論：#位数 8の #群 の分類
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の初歩 49

Q.
n次 #正方行列 全体Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O} は,
#行列 の積演算について #群 か?

A.
例えば2×2行列の場合
X＝
(1 0
0 0)
Y＝
(0 0
1 0) の時
XY=YX=Oで
M－{O}の内部で演算が閉じていないので
群ではない.

(Oでない行列同士の積がOになり得る.)

#群論の初歩 48

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mから
#零行列 O を除外した集合
M－{O}
は，
#行列 の和演算について #群 か?

A.
演算の #単位元 が存在しないので
群ではない.

#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.