#非平衡系の物理学のメモ 29

#クラマース・クローニッヒの関係式
で現れる 𝒫 は #主値積分。

#コーシー の #主値
(Cauchy principal value)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#特異点 の種類ごとに定められる
#広義積分 の値のこと。

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#複素解析を概観 30

f(z) の #極 が1位であっても，
列挙が面倒な場合の #留数 の求め方：
※例: 分母が(1＋x^6)など

1位の #特異点 に対する定理
F(z) ＝ f(z)/g(z) について
Res[ F(z) ]_{z=z_0} ＝ f(z_0) / g ' (z_0)
を使う。

※下記p9参照
http://www.th.phys.titech.ac.j...
.

＜#相対論や宇宙物理学の参考書＞

「共形場理論を基礎にもつ
量子重力理論と宇宙論」(2016)

p4より:
『#従来 の #場の量子論 では #通常
#Planckスケール を
#紫外カットオフ とみなしている.
そのため
#特異点 や #紫外発散 の #問題，
さらには #宇宙項 の問題も
#実質的 に避けている.』

#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#複素解析を概観 30

f(z) の #極 が1位であっても，
列挙が面倒な場合の #留数 の求め方：
※例: 分母が(1＋x^6)など

1位の #特異点 に対する定理
F(z) ＝ f(z)/g(z) について
Res[ F(z) ]_{z=z_0} ＝ f(z_0) / g ' (z_0)
を使う。

※下記p9参照
http://www.th.phys.titech.ac.j...
.

宇宙には検閲官がいる、という仮説がありますの。裸の特異点——物理の法則が終わる場所を、必ず覆いで隠して回っている何者かですわ。……五十七年、誰も証明できておりませんのよ。 #宇宙検閲官仮説 #特異点 #ブラックホール #コズミックホラー #物理学
usuchu.jp/2026/09/17/p...

#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 22

･#コーシーの積分公式
･#グルサーの公式
↑
これらの使いどころは…

#特異点(#単極/#重極)を1つ持つ関数を
容易に周回積分できる。

また逆に，
ある点における関数値 f(z_0) や導関数値を
そのまわりの周回積分 ∲ から推定できる。

#複素解析を概観 22

･#コーシーの積分公式
･#グルサーの公式
↑
これらの使いどころは…

#特異点(#単極/#重極)を1つ持つ関数を
容易に周回積分できる。

また逆に，
ある点における関数値 f(z_0) や導関数値を
そのまわりの周回積分 ∲ から推定できる。