#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
11 / 22

【第１０弾】#コーシーの積分公式 と #周回積分 公式
https://www.youtube.com/watch?...
17:34

#コーシー #積分 #複素積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 138

#マクスウェル方程式 の4式とも
導出アプローチが共通

人間が観察できる
巨視的スケールで法則を立式
↓
積分形に.
円周上の #周回積分 か
球面上の #面積分
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に

#複素解析を概観 32

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [－∞, ∞] での実積分の場合

半径Rの半円をとり
R→∞の時
円周上での f(z) の積分が
0になるとする.

この時，実軸上 [－∞, ∞] の積分は
f(z) の #周回積分 の
上半平面(または下半平面)にある
全 #留数 による評価と等しい.

#非平衡系の物理学のメモ 27

前述の
#クラマース・クローニッヒの関係式。

・証明は
f(ω)
＝ { M'(ω) － M_∞ } － j M''(ω)
＝∫{0→∞} m'(t) e^(－jωt) dt
とおいて，
f(ω) を #複素下平面 で #周回積分 すればよい。

・式中の 𝒫 は #主値積分 を表す。

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#大学の電磁気学を独学できるYouTube動画

大学攻略!さんによる
「#電磁気学」シリーズ
69 / 93

[電磁気学69]#アンペール の #周回積分 の法則の #微分形
https://www.youtube.com/watch?...
11:27

#電磁気 #大学物理
#電気 #磁気 #物理 #物理学

#複素解析を概観 32

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [－∞, ∞] での実積分の場合

半径Rの半円をとり
R→∞の時
円周上での f(z) の積分が
0になるとする.

この時，実軸上 [－∞, ∞] の積分は
f(z) の #周回積分 の
上半平面(または下半平面)にある
全 #留数 による評価と等しい.

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 120

Q.
rot↑E=↑0の説明方法2:
#周回積分 で #仕事=0

A.
#クーロン力 は #保存力。
閉曲線で #電荷 を1周させた仕事は0

W=0
=∲_C ↑F・d↑s
=∲_C q↑E・d↑s
#ストークスの定理
=q∬_S (rot ↑E)・↑n dS
Sが微小
=(rot ↑E)・↑n dS
∴rot↑E=↑0

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 117

Q.
#静電場 の #渦無し の法則
rot ↑E ＝ ↑0
どうやって「証明」できる？

A.
「説明」の方法は数通り:

①↑E＝－↑∇U の両辺の #rot から

②#周回積分 で #仕事 が0である事と
#ストークスの定理 を使う

③#レンツの法則 の特殊な場合とする

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 102

Q.
#ストークスの定理 を使うと
#微分演算子 rot を含む項を消し
微分演算子を含まない項(#周回積分)に変形できる。
↑
逆もある?

A.
周回積分を含む数式がある時，
それを変形して
「#rot を含む項」を生み出すことができ
#微分方程式 を作れる。

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 100

Q.
#ストークスの定理 は，計算上
何の役に立つ？

A.
#rot を含む #微分方程式 を積分して解く際，

1)
「微分演算子 ↑∇× を含む項」(＝rotの積分)を消し

2)
「微分演算子 ↑∇ を含まない項」(＝#周回積分)に変換できる
という点で価値がある。