#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 29

#展開 の #係数 を
#積分形 で表示！

▶#フーリエ級数展開:
a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds
b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds

▶#複素フーリエ級数展開:
c_m＝(a_m－j b_m)/2
＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 20

#フーリエ級数展開
(cosとsinによるΣでの表現)
↑
何の役に立つ？

･#無限和 の場合:
#直交関数系 による #展開 の概念を理解するのに役立つ.
･#有限和 の場合:
関数の #近似，#情報圧縮 に役立つ.
・関数の #偶関数 成分と #奇関数 成分を調べるのに役立つ.

#アナログ信号の解析法 12

a_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0)
b_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1)

f(t)を #展開 する際
これら #フーリエ係数 は
T,nに依存するが
tには依存しない.

そのためtでなく
あえてsという積分変数で表記してある.

#アナログ信号の解析法 4

#フーリエ級数 (Fourier series)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・実数値関数のフーリエ級数:
実数値関数 f(t) を
cos, sin で #展開 できる.

・複素数値関数のフーリエ級数 (#複素フーリエ級数):
複素数値関数 f(t) を
exp で展開できる.

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より引用:
『#相対論的場の量子論 を
#基盤 として
#展開 された
#素粒子論 において，
#ゲージ理論 の #登場 の際
その #解析 に
きわめて #有効 な #手法 として
しばしば #採用 されたのは
#経路積分 の方法であった。』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

あとがきより:
『#天体力学 は一面から見れば
#解析学 の1つの #極致 である.
#摂動関数 の #展開 など
#数値計算 に頼らない #式 のままの
#解析的 な形での取り扱いが
しばしば必要になり
やたらに #長い 数式が現れ…』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p191より:
『3次項の #展開 となると，
通常の努力では到底
成し遂げる事ができないほど
大変な量の #計算 が要る.
#月 の #運動理論 を
完成したE.W.Brownは，
月の #摂動関数 を展開するのに
その #一生 を費やした.』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p191より:
『#摂動関数 の #展開 の問題点は，
#数式 の #計算量 が
#ぼう大 になる事にある.
例えば #離心率 eによる展開で
・1次項までの展開は比較的簡単
・2次項は，相当に粘り強い努力を長いこと続けてやっとできる』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p191より:
『#ベキ級数展開 に用いる
「小さい #定数」として
･#軌道 の #離心率 e
･#軌道傾斜角 i に関する sin( i/2 )
等がよく使われる.
こうして #摂動関数 を
#級数 の形に書き直す事を
摂動関数の #展開 という.』

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より引用:
『#相対論的場の量子論 を
#基盤 として
#展開 された
#素粒子論 において，
#ゲージ理論 の #登場 の際
その #解析 に
きわめて #有効 な #手法 として
しばしば #採用 されたのは
#経路積分 の方法であった。』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p191より引用:
『何か #絶対値 の小さい #定数 を探し
その #ベキ級数 の形に #展開 する.
そうすれば #収束 が速く
#高次 の項は #微小 になり，
たとえ高次項を #切り捨て て扱っても
全体に #大きな影響 を与えない.』

#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 29

#展開 の #係数 を
#積分形 で表示！

▶#フーリエ級数展開:
a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds
b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds

▶#複素フーリエ級数展開:
c_m＝(a_m－j b_m)/2
＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 20

#フーリエ級数展開
(cosとsinによるΣでの表現)
↑
何の役に立つ？

･#無限和 の場合:
#直交関数系 による #展開 の概念を理解するのに役立つ.
･#有限和 の場合:
関数の #近似，#情報圧縮 に役立つ.
・関数の #偶関数 成分と #奇関数 成分を調べるのに役立つ.

#アナログ信号の解析法 12

a_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0)
b_n＝(2/T)∫{－T/2→T/2} f(s)sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1)

f(t)を #展開 する際
これら #フーリエ係数 は
T,nに依存するが
tには依存しない.

そのためtでなく
あえてsという積分変数で表記してある.

#ルベーグ積分と関数解析の参考書

朝倉数学大系
「シュレーディンガー方程式Ⅰ」
(朝倉書店2014谷島)
https://www.asakura.co.jp/G_12...

前書きより
『#Schrödinger方程式 の
#研究 は同時に，
#学部･#大学院 で学ぶ #解析学 の
#展開 の場で，
いわば解析学 #続論 の
#雰囲気 ももつ.』

#アナログ信号の解析法 4

#フーリエ級数 (Fourier series)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・実数値関数のフーリエ級数:
実数値関数 f(t) を
cos, sin で #展開 できる.

・複素数値関数のフーリエ級数 (#複素フーリエ級数):
複素数値関数 f(t) を
exp で展開できる.

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(上，下)」(地人書館1983長沢)

書評より:
『上巻は #力学基礎 と
#2体問題 を取り扱う.
下巻が本書の
主たる部分であり
･#摂動函数 の #展開
･#定数変化法 による #摂動論
･#直接 に #座標 を求める摂動論
･#正準変換 に基づく摂動論
が解説…』