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#フーリエ変換の性質や諸公式 29

①#たたみ込みの #フーリエ変換は
フーリエ変換の #積.

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍).

ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]
=
2π ℱ[ f(t)･g(t) ]

なんとシンプル！

#フーリエ変換の性質や諸公式 28

#たたみ込みと #積の #対称性を
「#フーリエ変換は」で揃えるのではなく
「畳み込みは」という主語に揃えて
言い換えると…

①畳み込みのフーリエ変換は
フーリエ変換の積

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍)

↑
覚えやすい！

#フーリエ変換の性質や諸公式 27

･#たたみ込みの #フーリエ変換は
フーリエ変換の #積.

･積のフーリエ変換は
フーリエ変換の畳み込み.

↑
「畳み込み」と「積」とで
きれいに対称な関係.

計算しづらいもの(畳み込み)を
計算しやすいもの(積)に置き換えられて便利！

#フーリエ変換の性質や諸公式 26

▶#たたみ込みの #フーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積に等しい.
ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

▶積のフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の
畳み込み(の定数倍)に等しい.
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 24

ω軸上の #たたみ込みを
ω軸上で #フーリエ変換すると…

ℱ_ω[
ℱ_t [ f(t) ]
*
ℱ_t[ g(t) ]
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t [ f(t) ] ]
・
ℱ_ω[ ℱ_t[ g(t) ] ]
畳み込みを #積に変形できた！

フーリエ変換の重ねがけの公式より
=
2π f(－t)・2π g(－t)

#フーリエ変換の性質や諸公式 23

ω軸上の波形の #たたみ込み
{
ℱ[ f(t) ](jω)
*
ℱ[ g(t) ](jω)
}
を
ω軸上で #フーリエ変換すると？

「畳み込みのフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積」という性質が
t軸上だけでなく
ω軸上でも成立するので
上式の畳み込みは積に変形できる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 14

#畳み込みよりも
#たたみ込みのほうが
10倍以上多く使われている。
↑
「畳み」という漢字を
読み書きする手間を省けるのは良い点かもしれない。

「畳込」は，不動産の物件で
「タタミを考慮に入れた(込みの)価格」
という意味で使われている。

#フーリエ変換の性質や諸公式 12

「畳み込み」の表記ゆれ！

Google検索のヒット件数

①#たたみ込み 6,780,000件
②#畳み込み　　508,000件
③#畳込み　　　101,000件
④#たたみこみ　 32,600件
⑤#畳みこみ　　 10,900件
⑥#畳込　　　　　 8,920件
⑦#畳こみ　　　　　146件

#フーリエ変換の性質や諸公式 1
↑
このタグでは下記の事項を学びます。

･#フーリエ変換の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺変換

#デジタル信号の周波数解析 51

ω軸上で #サンプリングした
F_d(ω)
=
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
の時間 #波形を調べるため
#逆フーリエ変換すると…

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
ℱ^{-1}[ F(ω)・δ_{Ω/M}(ω) ]

ω軸上の #積は
t軸上の #たたみ込みだから
=
ℱ^{-1}[ F(ω) ]
*
ℱ^{-1}[ δ_{Ω/M}(ω) ]

#デジタル信号とサンプリング 34

y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t )

この式に，さらに

･#デジタル信号の定義
y_d(t)
=
y(t){ Σ{k＝-∞→∞} δ(t－kτ) }
=
Σ{k＝-∞→∞} y(kτ)･δ(t－kτ)

･#たたみ込みの定義
f*g＝∫{-∞→∞} f(t－τ) g(τ) dτ

を適用するとどうなる…？

#デジタル信号とサンプリング 28

ℱ_ω[
ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

右辺=2πy(-t)

左辺(#積を #たたみ込みに変形)
=
(1/2π)ℱ_ω[ ℱ_t[y_d] ] * ℱ_ω[ τ rect(ω / (Ω/2))]
=
(τ/2π) 2π y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]

#デジタル信号とサンプリング 12

#デジタル信号
y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ]
#積を #たたみ込みに変換
=
(1/2π){
ℱ[ f(t) ]
*
ℱ[ δ_τ (t) ]
}
=
(1/2π){
F(jω)
*
Ω δ_Ω (ω)
}
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11

#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換を求める際
役立つ公式:

#積と #たたみ込みの性質
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#インパルス列のフーリエ変換
ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω)
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリングした
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列との #積を
#たたみ込みに変形できそう！

#フーリエ変換の性質や諸公式 50
↑
このタグの復習…

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 48

まとめ①

#線形性
ℱ[ a･f(t)＋b･g(t) ]
=
a･ℱ[f(t)]＋b･ℱ[g(t)]

重ねがけ
ℱ^{-1}[ ℱ[f(t)] ]＝f(t)
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]＝2π f(－t)

#たたみ込み
ℱ[ (f*g)(t) ]＝ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]
ℱ[ f(t)･g(t) ]＝(1/2π)ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]