#代数系の初歩 23

Q.
#準群 Ｑの任意の2元a,bに対し
① ax=bなるxと
② ya=bなるyが存在.
a=bの時
①' ax＝a
②' ya＝a
この式から
「#準群 には #単位元 も存在」と言えるか?

A.
①' ②' で一般にx≠y.
さらに元aごとに①' ②' をみたすx,yは異なる。
よってＱに単位元は一般に無い。

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
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群論02 #部分群 〜部分群の #単位元 ・ #逆元、#巡回群 の性質〜
https://www.youtube.com/watch?...
41:29

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 20

Q.
#半群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
正の整数が全て出る
特殊なサイコロを考える.

#単位元 がないので
サイコロの目に0は無い.
(動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない)

#逆元 がないので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 19

Q.
#モノイド を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0と正の全整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元(負の目)が無いので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18

Q.
#群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0を含む正負すべての整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元 を持つので
+2進んだら
-2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 13

#半群(semigroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・各元が #逆元 を持つとは限らない点と
#単位元 も無いかもしれない点で
#群 と異なる.

・台集合が有限集合である半群:
有限半群 (finite semigroup)

・台集合が無限集合である半群:
無限半群 (infinite semigroup)

#環論の知識

#標数 (characteristic)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 や #体 の特徴を表す0以上の整数.

環Rの乗法の #単位元 1を
n回の加法演算で足し合わせた結果が
0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時
nの最小値をRの標数という.

何回足し合わせても0にならない場合
標数は0.

#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 9

Q.
#代数学 において
#マグマ とは.

A.
ある集合Mにおいて
「#閉じている 二項演算」(#内算法)
が定義されていれば，
Mをマグマと呼ぶ.
(※ #ブルバキ が導入した呼び名)

その #二項演算 は
#結合法則 を満たす必要はなく，
#単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#群論の初歩 63

Q.
#自明な部分群 とは

A.
#群 Gの部分集合のうち
下記の２つを
Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ.

(1)
群Gそのもの

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 を持つ
Gの部分集合Hが
1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H
2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H
ならば
Hに #単位元 が存在する事を示せ

A.
Hの元は全てGの元なので
aa^{-1} はGの単位元eであり
(1)より aa^{-1}＝e はHの元.
GとHで二項演算が同じなので
eはHの単位元.

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.