#巡回群とは 38

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnで
mはnの約数とする.
a^mの位数は?

A.
a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち
最小のものがnであり
a^n=e.

n=md (m,dは自然数)とおくと
a^(md)=e.

ここで
md=knとなる最小の自然数kはk＝1より
(a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは
d=n/m

∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

#巡回群とは 35

①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し
a^i=eとなる最小の自然数iを
生成元aの #位数 と呼ぶ.

②任意の #群 Gの
任意の元xは，
xを生成元とする
#巡回部分群‹x›を生み出せて，
①より‹x›は位数をもつ.
↓
任意の群Gの
任意の元xは
それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

＜#代数学の参考書＞

「リー群の話」
(日本評論社1982佐武)

出版社による紹介:
『本書は主として
大学の2，3年を対象にした
#リー群論 の入門書。
現代的にいえば，
#群 と #多様体 を
結んでできた物が #リー群。
数学の多くの分野に関連する
#基礎概念 として重要。
類を見ない決定版』

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 32

#群 G が
「#元 x を持つ」ならば
「#部分群 ‹ x › を持つ」.

x ∈ G ならば
‹ x › ⊂ G

属する元(要素)の存在を
たった1個言うだけで，
ただちに
部分群(＝構造をもった集合)の存在を
導けるのである.

単なる集合の元xではこうはいかない.
群の元xは特別である.

#巡回群とは 31

Q.
#巡回部分群 について学ぶと，
・ #群 Gに属する元
・群Gの #部分群
の関係について見方が変わる。

つまり，
「群Gがある元xを要素に持つ」という事は
何を意味するかというと…

A.
「Gは，
その元xが生成する巡回部分群 ‹x› を
部分群に持つ」
という事をも意味する.

#巡回群とは 30

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
だとする時

この1個1個ぜんぶから
その元を #生成元 にした
#巡回部分群 を作れて
H_1 ＝ ‹ g_1 ›
H_2 ＝ ‹ g_2 ›
H_3 ＝ ‹ g_3 ›
…
のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

※ただしこれらの巡回部分群は
互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29

Q.
よく考えてみると，
#巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？

A.
一般の #群 Gがある時，
Gのどの元からも1コずつ
その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて，
その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから.
Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#巡回群とは 26

Q.
#巡回部分群 とは

A.
#群 G の1つの元 a について
その「正と負の全ての #べき の集合」を考え
H
＝{ a^n | n∈ℤ }
＝{
…,
a^{-2},
a^{-1},
a^0＝e,
a^1＝a,
a^2,
…
}
＝ ‹ a ›
と書く.

H を
「元 a によって #生成 される
G の巡回部分群」と呼ぶ.

#巡回群とは 25

「#巡回群」という概念が現れる機会は，
沢山あるのだろうか？

答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。

#群 G の要素が n 個あったら
その n 個の要素すべてを
それぞれ #生成元 として
巡回群を作ることができ，
何と全て G の #部分群 になるのである.

次ツイから見てみよう.

#代数学の知識

#ガロア群 (Galois Group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・代数方程式または #体 の #拡大 から
定義される #群 のこと.

・ガロア群を使って数学的対象を研究することを
#ガロア理論 という.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)
https://www.hmv.co.jp/artist_%...

p136より引用:
『#集合 G が次の条件を満たす時，
これを #リー群 という.

① G は #群 である.
② G は #実解析多様体 である.
③ G の #群演算 は #実解析的 である.』

#巡回群とは 18

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1)#群 G の #位数 は？
(2) i の位数は？

A.
(1)
#有限群 で要素数が4なので
|G|＝4

(2)
iはGの生成元だから
ord(i)＝|G|＝4.
またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので
やはりord(i)＝4.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p36より:
『1つの #群 を
数学的実在として決定するには
どれだけの事実を知ればよいか?
1つの解答は
#ケイリー が #1854年 に
「群の #乗積表」を
導入した時に与えられた。
これは #九九 の表と
同じような #配列 である。』

#巡回群とは 15

#群 の #位数(order)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の位数はその濃度，すなわち，
その集合に入っている元の個数.
ord(G) や |G| で表記.

・群の元 a の位数は
a^m = e であるような最小の正の整数m.
ord(a) や |a| で表記.

#群論の知識

#自由群 (free group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#公理 から来る自明なもの以外に，
元の間の等式がない #群 のこと.