#フーリエ変換の性質や諸公式 35

▶#1階微分 の場合:
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω･ℱ[ f(t) ]

▶#n階微分 に拡張:
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ]
=
{ (jω)^n }･ℱ[ f(t) ]

#n階 の #微分演算子 は
#周波数 ωのn乗に置き換えられる。
#微分方程式 は，単にωのn次式になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 30

#微分方程式 を解く時に便利な
#フーリエ変換 の性質…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
=
jω F( jω )

↑
「#微分 のフーリエ変換は
フーリエ変換の #周波数 倍」

#微分演算子 をjωに置き換えられるので
微分方程式が
ωの #代数方程式 になる！

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 143

「自然現象の観察事実をもとに
場の方程式を作る，科学的な手順」

①巨視的スケールで法則を立式
②積分形にする
③ベクトル解析の定理で #微分演算子 を含む式に変形
④微小領域で考え #微分方程式 にする

…という4ステップ。
分かりましたね！

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 142

#磁束保存の法則:

巨視的スケールで法則を立式
「#磁気単極子(#単磁荷)は存在しない」
↓
積分形に
∬_S (↑B・↑n) dS＝0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∭_V div↑B dV＝0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
div↑B＝0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 141

#静電場 の #渦無し の法則:

巨視的スケールで法則を立式
W(#仕事)=0
↓
積分形に
∲_C ↑F・d↑s=∲_C q↑E・d↑s=0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
q∬_S (rot ↑E)・↑n dS=0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
rot↑E=↑0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 140

#アンペールの法則:

巨視的スケールで法則を立式
2πrH＝Ｉ
↓
積分形に
∲_{∂S} ↑H・d↑s ＝Ｉ
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∬_S (rot ↑H)・↑n dS ＝ ∬_S ↑j・↑n dS
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
rot ↑H＝↑j

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 139

#ガウスの法則:

巨視的スケールで法則を立式
F ＝ k･q_1 q_2/r^2
↓
積分形に
∬_∂V (↑E・↑n)dS＝q/ε_0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∭_V(r) (div↑E)dV＝q/ε_0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
div ↑E ＝ ρ / ε_0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 138

#マクスウェル方程式 の4式とも
導出アプローチが共通

人間が観察できる
巨視的スケールで法則を立式
↓
積分形に.
円周上の #周回積分 か
球面上の #面積分
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に

#フーリエ変換の性質や諸公式 35

▶#1階微分 の場合:
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω･ℱ[ f(t) ]

▶#n階微分 に拡張:
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ]
=
{ (jω)^n }･ℱ[ f(t) ]

#n階 の #微分演算子 は
#周波数 ωのn乗に置き換えられる。
#微分方程式 は，単にωのn次式になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 30

#微分方程式 を解く時に便利な
#フーリエ変換 の性質…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
=
jω F( jω )

↑
「#微分 のフーリエ変換は
フーリエ変換の #周波数 倍」

#微分演算子 をjωに置き換えられるので
微分方程式が
ωの #代数方程式 になる！

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 102

Q.
#ストークスの定理 を使うと
#微分演算子 rot を含む項を消し
微分演算子を含まない項(#周回積分)に変形できる。
↑
逆もある?

A.
周回積分を含む数式がある時，
それを変形して
「#rot を含む項」を生み出すことができ
#微分方程式 を作れる。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 101

Q.
なぜ「#微分演算子 rotを消す」べき?

A.
#微分 や #rot は
無限小(ε,ds)の世界の論理だが

人間が物理現象を観察する時
無限小ではなく
マクロな大きさ(㎝単位等)で認知する。

マクロ現象を定量的に把握するため
積分してrotを消す必要がある。