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rect(ω / (Ω/2))の
ω軸上 #フーリエ変換:
(※rectは-1から1まで値を持つ)

面積1の #矩形関数のフーリエ変換は
#sinc関数なので
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t

#縮尺変換の公式より
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#デジタル信号の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換すると？

#デジタル信号の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#sinc関数＝ (sin ω) / ω
の分母には
「ωの1次の項」があるが…

この
「ωの1次の項」が生まれる理由は？

#矩形関数の #フーリエ変換を計算すると，
#信号処理や #フーリエ解析学において
「sinc関数が現れる理由」を
簡潔に説明できるようになる。

rect(t) ＝
1　(－1≦t≦1)
0　(それ以外)
↑
#矩形関数の #フーリエ変換を
計算してみよう.

ℱ[ rect(t) ]
=
∫{-∞→∞} rect(t) e^(－jωt) dt
=
∫{-1→1} e^(－jωt) dt
=
(-1/jω) [ e^(－jωt) ]_{-1→1}
=
-(1/jω) { e^(－jω)－e^(jω) }
続

rect(t) ＝
1 (－1≦t≦1)
0 (それ以外)
とすると，

ℱ[ (1/2) rect(t) ]
=
sinc(ω)
=
(sin ω) / ω

「面積1の #矩形関数は
#フーリエ変換すると #シンク関数になる」
と覚えるとよい！

#矩形の範囲が－1から＋1まで，とするのも
きりが良い定義.

定義方法にはいろいろ流儀があり，
グラフの値が1となる範囲を
－1≦x≦1 のかわりに
－1/2＜x＜1/2 とする場合もある.

重要な性質:
#フーリエ変換すると #sinc関数になる.

#矩形(くけい)関数を
rect(x) ＝
1　(－1≦x≦1)
0　(それ以外)
で定義。

#sinc(シンク)関数を
sinc(x) ＝ (sin x) / x
で定義。

この時
ℱ[ rect(t) ] ＝ 2 sinc(ω)
が成り立つ。

#フーリエ変換の具体的な計算 1
↑
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