#デジタル信号の周波数解析 22

DTFT^{-1}の #積分 区間が:

①ω軸上1 #周期 なら
信号「値」1つを復元
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω)dω
=f[n]=f(nτ)

②{-∞→∞}なら
「#δ列 としての #デジタル信号」を復元
∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dt
=
Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 10

DTFT[ f(t) ]=F(ω)
=
Σ{n=-∞→∞} f[-n]･e^(j2πn･ω/Ω) ①
↑
この式を
「#周期 ΩのF(ω)の
ω軸上での #複素フーリエ級数展開」
とみなせる.
という事は…？

①式の f[-n] の部分を
複素フーリエ級数展開の #係数 とみなせる！
という事になる.

#デジタル信号の周波数解析 9

#周期 T を持つ関数f(t)の
t軸上での #複素フーリエ級数展開 は
f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
という形.

一方
DTFT[ f(t) ]=F(ω)
=
Σ{n=-∞→∞} f[-n] e^(j2πn･ω/Ω)
だから，これは
周期 Ω を持つ関数F(ω)の
ω軸上での複素フーリエ級数展開.

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#ホルモン #生理 #周期

#デジタル信号とサンプリング 31

ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
2 ω_0･sinc(ω_0･t)
を使うと
#デジタル信号 の #スペクトル を
ω軸上で1 #周期 切り出した式は
2πy(-t)
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t)

π/τ=ω_0より
y(-t)
=
y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 27

ω軸上で #デジタル信号 を
1 #周期 切り出したもの
ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
=
ℱ[y]

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 25

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数 だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 9

記号の補足:
#サンプリング周期 を
Tではなく
τ(タウ)で表記する事があるのはなぜ？

#信号処理 でTと書いた場合
#周期信号 の #周期 を表すことが多い.

混同・誤解を避けるため
①関数の #波形 の周期はT
②サンプリング周期はτ
で表し区別.

#高校の生物基礎を勉強するための動画

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「#生物基礎」 51/135

#遺伝子 21
#細胞周期 の #長さ の計算 （２１分）
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#細胞 #周期
#生物 #高校生物
#生命 #生命科学

#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#高校の生物基礎を勉強するための動画

映像授業Try ITシリーズ
「#生物基礎」 47/135

#遺伝子 17
#細胞周期 （１４分）
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#遺伝 #細胞 #周期
#生物 #高校生物
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#解剖生理学を独学できるYouTube動画

メディカルロックティーチャーリョウによる
「#解剖生理学」シリーズ
34 / 71

めちゃくちゃ大事！！【#心周期】#充満期 #駆出期 #等容性収縮期 #等容性弛緩期 #循環 の #生理 ⑥【解剖生理学33】国家試験直結
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#周期

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる