#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

#GröbnerBasis 1

グレブナー基底大好きbotさんによる
読みやすく簡潔なまとめ

「群、環、体って何？」
https://togetter.com/li/879778

#群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮)
#環: かけ算もできる(商と余りも定義可)
#体: 割り算もできる(四則演算)

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 60

Q.
#群 G の部分集合 H が
Gの #部分群 となるために
H が満たすべき2条件

A.
(1) H の任意の2元 a, b に対し
ab は H の元.
(Gと同じ #二項演算 が
部分群の内部で #閉じている)

(2) H の任意の元 a に対し
その逆元a^{-1}は H の元.
(部分群の内部で
#逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 47

Q.
n次 #正方行列 全体の集合Mは
#行列 の積演算について #群 か?

A.
Mの任意の元Aに対し
AE＝EA＝Aより
n次 #単位行列 Eが
積演算の #単位元.

しかし #零行列 Oは
OA＝AO＝Oで,
Oにいかなる元をかけても
単位元Eにならず
Oには #逆元 が存在しないので
Mは群でない.

#群論の初歩 46

Q.
n 次 #正方行列 全体の集合 M から
#群 を構成せよ.

A.
演算として #行列 の和(加法)を考えれば
#単位元 はO(n次の正方零行列).
行列Aの #逆元 は－A.
演算が閉じており
#結合法則 を満たすので群.

#交換法則 も成立するので #アーベル群.
加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 45

Q.
各々，通常の加法について
#加法群 であるか?

(1) すべての整数 ℤ
(2) すべての有理数 ℚ
(3) あるベクトル空間における全ベクトルの集合
(4) 負でない整数の全体

A.
(1)～(3)は
加法群の4公理を満たし加法群をなす.
(4)は #逆元 が存在しないので加法群でない.

#群論の初歩 40

Q.
#加法群 の満たす4公理

A.
加法の定義された集合Gで

1 #結合法則
任意の3元につき
(a+b)+c＝a+(b+c)

2 #零元 の存在
任意の元xにつき
x+0＝0+x＝x
なる0が存在

3 #逆元 の存在
各元aにつき
a+(-a)＝(-a)+a＝0
なる-aが存在

4 #交換法則
任意の2元につき
a+b＝b+a

#群論の初歩 39

Q.
#加法群 とは.

A.
「#アーベル群 の演算を
加法(＋)の形で表記したもの」を
一般に加法群と呼ぶ.

加法群の #単位元 を
#零元 と呼び，
通常は 0 と書く.

加法群の元 a の #逆元 を -a と書く.
a＋(-b) を a-b と書く.

※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 28

Q.
T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ }
S＝T－{0}
Sが積演算について #群 をなすことを示せ.

A.
Sの2元の積は
(a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S
より
#二項演算 が #閉じている.
#結合法則 も満たす.
#単位元 は1.
a+b√3の #逆元 は
1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27

Q.
1次元トーラスから
#群 を構成せよ.

A.
1次元トーラスとは
複素数全体ℂに対し
T＝{z∈ℂ | |z|＝1}
を指す.

Tの元は
乗法について閉じており
#結合法則 を満たす.

#単位元 は z＝1.

元 z＝e^(iθ) の
#逆元 は z'＝e^(-iθ).

よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 26

Q.
#群 で常に #簡約法則 が成り立つ事を示せ

A.
群Gの3元a,b,cに対し
aの #逆元 a^{-1} が常に存在.

ab＝acの時，左からa^{-1}をかけ
b＝c
∴左簡約可能

ba＝caの時，右からa^{-1}をかけ
b＝c
∴右簡約可能

左簡約と右簡約が常に可能ゆえ
群では常に簡約法則が成立.

#群論の初歩 20

Q.
#群 の3公理を
同値なまま簡潔化せよ

A.
#単位元 の存在は
#右単位元 の存在に置き換えられる:
任意の元 a に対し
ae＝a なる右単位元 e が存在.

#逆元 の存在は
#右逆元 の存在に置き換えられる:
各元 a に対し
a a^(-1)＝e なる右逆元 a^(-1) が存在.

#群論の初歩 19

Q.
群の
任意の n 個の元の積について，
その #逆元 は
(a_1 a_2 ... a_n)^{-1}
＝
a_n^{-1} ... a_2^{-1} a_1^{-1}
で与えられる事を示せ.

A.
(a_1 a_2 ... a_n) (a_n^{-1} ... a_2^{-1} a_1^{-1} )
＝e
を，
n についての帰納法で示せばよい. (証明略)