#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 43

Q.
#位数 n の #巡回群 ‹a›と
nの約数mに対し
位数mの #部分群 が
ただ1つ存在する事を示せ

A.
位数mの任意の部分群をHとし
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば
前ツイまでよりH=‹a^s›.
巡回群の位数の性質より
(a^s)^m＝e＝a^n
∴s＝n/m
Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 42

前ツイの解説:
「aで #生成 される #巡回群 Gの
#部分群 Hは必ず巡回群.」
を示すには…

「Hの全ての元が
ある元a^sの #べき として書ける」
つまりHに #生成元 がある事を示せばよい.

割り算の商と余りの議論で
余り=0を示し
どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 41

Q.
#巡回群 G＝‹a›の #部分群 Hは
巡回群である事を示せ

A.
G,Hの元はa^iの形.
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおく①
Hの元a^jでj=qs+r(0≦r≦s-1)②とおく.
a^j={(a^s)^q}a^r
→{(a^(-s))^(-q)}(a^j)=a^r
左辺a^s,a^(-s),a^j∈Hより右辺a^r∈H
①②よりr=0.
∴H=‹a^s›

#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 32

#群 G が
「#元 x を持つ」ならば
「#部分群 ‹ x › を持つ」.

x ∈ G ならば
‹ x › ⊂ G

属する元(要素)の存在を
たった1個言うだけで，
ただちに
部分群(＝構造をもった集合)の存在を
導けるのである.

単なる集合の元xではこうはいかない.
群の元xは特別である.

#巡回群とは 31

Q.
#巡回部分群 について学ぶと，
・ #群 Gに属する元
・群Gの #部分群
の関係について見方が変わる。

つまり，
「群Gがある元xを要素に持つ」という事は
何を意味するかというと…

A.
「Gは，
その元xが生成する巡回部分群 ‹x› を
部分群に持つ」
という事をも意味する.

#巡回群とは 30

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
だとする時

この1個1個ぜんぶから
その元を #生成元 にした
#巡回部分群 を作れて
H_1 ＝ ‹ g_1 ›
H_2 ＝ ‹ g_2 ›
H_3 ＝ ‹ g_3 ›
…
のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

※ただしこれらの巡回部分群は
互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29

Q.
よく考えてみると，
#巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？

A.
一般の #群 Gがある時，
Gのどの元からも1コずつ
その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて，
その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから.
Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
76

#群論：#部分群 の全体がなす #順序集合
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#巡回群とは 25

「#巡回群」という概念が現れる機会は，
沢山あるのだろうか？

答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。

#群 G の要素が n 個あったら
その n 個の要素すべてを
それぞれ #生成元 として
巡回群を作ることができ，
何と全て G の #部分群 になるのである.

次ツイから見てみよう.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
71

#群論：与えられた #指数 をもつ Z^2 の #部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
5 / 16

群論03 #部分群 判定条件 〜判定法の整理(一般の場合・ #有限集合 の場合)〜
https://www.youtube.com/watch?...
26:13

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
67

#群論：#対角部分群 とその #剰余群
https://www.youtube.com/watch?...

#対角写像 #部分群
#代数 #代数学

#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
4 / 16

群論02 #部分群 〜部分群の #単位元 ・ #逆元、#巡回群 の性質〜
https://www.youtube.com/watch?...
41:29

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数